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  • 开展第十一届高中生数学论文竞赛的公告
  • 2001年至今,我刊已开展了十届高中生数学论文竞赛,得到了广大中学师生的广泛关注.前十届参赛论文中不乏优秀之作,部分获奖论文已在我刊“学生论坛”栏目刊出.为了反映学生的学习成果,鼓励学生的创新意识,支持中学生数学论文写作这一活动,我刊今年继续开展第十一届高中生数学论文竞赛,具体事项安排如下.
  • 如何形成解题思路
  • 许多同学都有这样的困惑:遇到一道数学题,尤其是较复杂的数学题,往往不知从何下手,难以形成解题思路.即使做了许多练习题,仍然难以提高这方面的能力.那么,在解决数学问题的时候该怎样分析题意形成解题思路呢?本文以近两年的几道高考试题为例,展示笔者在解决这些问题时的心路历程,以期能够给大家以启发.
  • 从一道题的解答看数学思想方法的灵活选择
  • 1.题目 如图1,设P为x轴上的任一点,过点P作圆E:x2+(y-2)2=1的两条切线PA,PB,A,B为切点,AB与EP交于点M.
  • 二次函数图象的一个有趣结论
  • 笔者最近对二次函数的图象作了研究,得到了一组重要而有趣的结论,现论述如下,供读者参考.
  • 寻找真正的通法
  • “通法”是指解决某类问题的基本方法,具有一定的“通用性”.在教学中强调“通法”有利于学生掌握相关知识内容最本质的东西,有利于学生形成基础的知识结构和网络,也易于消除多数学生对数学的恐惧心理,能够增强学生学好数学的信心.然而在实际教学中诸多教师所讲解的方法并不一定是真正的“通法”,而仅仅是“特法”,
  • 多角度求解一道教学质量监测客观题
  • 函数是中学数学的核心内容,导数是函数的重点内容之一,利用导数知识解决函数的具体问题是高考和各种模拟考试的热点.函数零点是函数与方程、函数图象与z轴交点情况的另一种体现,为新课程教材区别于老教材又一亮点,为新高考考试命题增光加彩,别有一番新意.
  • 一道模考题的多角度思考
  • 上题是2010年江苏南通市高三第二次模拟测试第13题,题目新颖别致,表述简洁,有一定难度,学生普遍感到棘手.下面给出笔者对此题的思考过程,希望对同学们能有所帮助.
  • 动态立几 精彩纷呈
  • 在近几年的高考数学试卷中,出现了不少动态的立体几何问题,这类试题新颖别致,构思精妙,让立体几何“活”了起来,同时又使立体几何题意更新颖,题目更灵活,考查更全面,思维更广阔,给人耳目一新的感觉,同时也加强了空间想象能力的考查.下面分类对这些精彩题型逐一进行展示.
  • 一道调研考试题讲评的改进教学与反思
  • 1.问题的提出 今年一月底我校组织了高三调研考试,其中数学试卷倒数第二题是数列题,题目如下:
  • 一道高考题的解法及推广
  • (2010年上海市春季高考数学第18题)已知函数f(x)=1/4-2x石与的图象关于点P对称,则点P的坐标是( )
  • 法向量截面法求解二面角
  • 坐标向量法是解答立体几何问题的通性通法,它大大降低了传统解法中“一作二证三计算”的解题技巧,节省了思维,尤其是用法向量求解二面角,不论二面角的开口方向、大小如何,不管两半平面的“形状”怎样,无论二面角有棱没棱,更是“所向披靡”.
  • 简析一道“卓越联盟”自主招生试题
  • 2011同济大学等九学校(卓越联盟)自主招生第12题为:
  • 几何概型测度的类型及应用
  • 几何概型是一种特殊的随机事件概率模型,是概率问题的几何形式.求解此类问题时可把每个基本事件理解为从某个特定的可度量的几何区域D内随机取一点,区域D内的每一点被取到的可能性大小相同,即点在区域D内是均匀分布的;
  • 论几何概型中的等可能
  • 在概率发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限多个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑无限多个试验结果的情况.几何概型用来计算事件发生的概率时,适用于有无限多个试验结果的情况,每种结果的出现也要求必须是等可能的.而且事件发生在一个明确范围的区域中。
  • 三角形边的一个优美性质及其应用
  • 请仿上述思路证明,相信你能行!我们知道,在直角三角形中勾股定理表述了三角形三边的等量关系.此性质又是一个关于三角形中三边的等量关系,下面看它在解题中的风采.
  • 一道竞赛题的解法探究与变式
  • 本文介绍一道竞赛题的多种解法,并进行变式探究.
  • 对称式在解题中的妙用
  • 在数学解题过程中,合理地构造形式相似且具有某种特征的对称关系式,并通过对这种对称关系式进行适当的和、差、积等运算,往往能使问题得到巧妙的解决,收到事半功倍的效果.下面通过实例来谈谈构造对称式的几种途径.
  • 通过一题看解三角形的常用策略
  • 正弦定理、余弦定理及其应用是高考的重要内容之一,常与三角函数联系在一起,以正弦定理、余弦定理为工具,通过三角恒等变换来解三角形或实际问题,以低中档题为主,下面通过一题来分析解三角形的常用策略.
  • 一题多变求“心”题
  • 在数学教学中,若能经常把一道题的条件或问题进行合理改变,不但能激发学生的学习兴趣,调动其主观能动性,积极思考,而且还能培养学生的思维能力.设计有关三角形四“心”(重心、垂心、内心、外心)的向量变式训练题,能使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更深刻的认识.
  • 另解一道高考题
  • 例题(2010全国卷Ⅱ,文21)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.
  • 对两道“根的分布”试题的深入探究
  • “根的分布”题型,是高考数学的重点与难点.而“二次方程根的分布”是“根的分布”题型的主干,其结论繁多,通过牢记结论在解题时套用结论的做法未必可取,不是好的做法.其实“二次方程根的分布”问题的解决,可以从几方面考虑:开口,
  • 一道高考试题的解法分析与背景研究
  • 2010年高考北京卷理科第19题是一道构思精巧的解析几何问题:
  • 一道2010年全国联赛试题的变式探究
  • 以上五个问题的解答都用到了三角换元法,它是求函数值域的一种常用方法.进行三角换元的主要根据是sin2 a+cos2 a=1,如果x2+y2=a2,可令x=asin a,Y=a cos a;
  • 简解一道西班牙竞赛题的奇异变式
  • 这是第31届西班牙数学奥林匹克的第2题的一个奇异变式(见文[1]),原题为:
  • 一类数列不等式问题的研讨
  • 笔者多次参与乌鲁木齐市高三年级诊断性测验的命题工作,在乌鲁木齐地区2010年高三年级诊断性测验数学试卷命题过程中,觉得其中数列那道题的编制和推敲过程很有典型性,下面我们把这道题的命题思路及其渊源整理出来,对学生的学习会有一定的教育价值.
  • 一道无理函数最值题的两个数学解法
  • 文[1]作者对此题多方探索未得到数学解法,最后借助于物理知识求解,文[2]则利用一引理给出其纯数学解法,本文从不同的新角度给出此题的两个纯数学解法.
  • 用单调性证明数列的连续项积型不等式
  • 对数列连续项积型不等式,文[1]给出了用其成立的一个充分条件证明的方法.笔者探究发现,用单调性证明某些此类不等式更简便.
  • 一道联赛题的多视角思考
  • 视角1 着眼于消除分子分母的差异,将分母化到根号里面去.
  • 例析坐标法解决与向量有关的问题
  • 坐标法又称解析法,是解析几何中最基本的方法.其思路是:通过建立平面直角坐标系,把几何问题转化为代数问题,从而利用代数知识使问题得以解决.同学们在解决一些与向量有关的问题时若适当考虑坐标法,
  • 一类数列不等式的证明方法
  • 与数列有关的不等式证明题,一直是高考的热点,也是学生学习的难点.本文通过对两道试题的解法探究,介绍证明这类数列不等式的方法和策略,供大家参考。
  • 不同视角证明一个组合恒等式
  • 数学解题,关键是如何认识问题的条件和结论,怎样和已学的知识建立联系,从不同的视角看待条件,发散思维,整合知识,从而获得问题的解决.笔者从不同视角证明了一个组合恒等式,以飨读者.
  • 错误发生之后——一个等差数列问题的错误辨析
  • 问题的答案是4016,而许多学生的答案是4017.为了了解学生的错误原因,我调查了部分学生,发现其主要的错误来源主要有三个,具体如下.
  • 谨防命题“悄悄”改变
  • 数学问题的求解过程,实际上是问题的转化过程,条件由“隐”转化为“显”,结论由“暗”转化为“明”,这是人所共知的事实,也是求解数学问题的真实写照.本文所说的“改变”并非是这里的转化;而是将“此问题”改变为“彼问题”或是“此条件”改变为“彼条件”,这样一来,所求到的结论就可能是错误的.下面举例说明.
  • 一类恒成立问题的错解释疑
  • 含绝对值的不等式恒成立问题,既是高考的一个热点,又是高考的一个难点,还是人们探讨的一个焦点,本文就一道含绝对值不等式恒成立问题的流行错解进行释疑,并将这一类问题进行推广.
  • 恒成立问题中的“似是而非”
  • 含参数的恒成立问题是高中数学中的一类重要题型,也是高考命题的热点问题.这类问题涉及的知识面广,要求有较高的解题技巧,因此它又是学习中的难点问题.如若对其中所含的数学思想理解不到位,在解题过程中就会出现似是而非的错误.本文对在教学过程中遇到的几种常见错误进行了归类整理.
  • 对一道抛物线问题的探究
  • 题目若过两抛物线y=x2-2x+2和抛物线y=-x2+ax+b的一个交点P的切线互相垂直,求证抛物线y=-x2+ax+b恒过定点Q,并求出点Q的坐标.
  • 一个数学命题的加强
  • 这是《数学通报》2005年第44卷第2期“数学问题与解答”中的第1541题,下面对原命题进一步加强,同时采用另一种证明方法.
  • 探究有趣的子集配对问题
  • 设集合A={a1,a2,...,an},I为集合A生成的所有子集的集合,集合M、N是I的两个元素,发现在不同的配对法则下,子集间不再是一盘散沙,存在着各种结构与对应关系;探究其配对数多少是很有趣的问题,是深刻领悟计数观点、方法和原理的思维体操.
  • 一道耐人寻味的抛物线习题
  • 有这样一道习题:设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线x2=4y上不同的两点,该抛物线在点A,B处的两条切线相交于点C。
  • 《数学通报》1830号问题的简证与探究
  • 本题是数学通报1830号问题,原证明过程涉及了分类讨论而且有一定的运算量,比较复杂.笔者通过研究,得到了一个简证,通过简证中的中间不等式,笔者还对文[3]中的全部不等式给出了新的证明.
  • 一道调研题的研究性学习
  • (1)求椭圆C的方程;(2)求证:以MN为直径的圆过x轴上的定点,并求出定点的坐标.
  • 一道教材习题的拓展与应用
  • 教材是学生获取知识的蓝本,而教材中的例题、习题是练习题中的精品,教学中如果能从课本例题、习题出发,对其进行拓展探究,不仅在巩固知识和把握方法上都起着“固体拓新”之用,而且还可收到“秀枝一株,嫁接成林”之效.本文从一道教材习题出发,对其拓展、引申并加以应用,以期达到抛砖引玉的作用.
  • 一道课本习题引出的一个解题模型
  • 《普通高中课程标准实验教科书》数学5(必修,2007年人教A版,2009年第10次印刷)习题3.4第101页B组第2题:树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大(解答此处略,以下简称问题).
  • 对几个不等式的统一证明及推广
  • 张俊老师在文[1]、[2]、[3]中提出了如下几个有意思的不等式:
  • 椭圆焦半径的性质及应用
  • 设F为椭圆的一个焦点,M是椭圆上任一点,我们把线段MF叫椭圆的焦半径,下面给出椭圆焦半径的性质,并举例说明性质的应用.
  • 换种思路求解一道高考题并探究
  • 求最值,一直是高考的重点,求解的方法很多,有配方法,判别式法,不等式法,换元法,导数法等等,对于特定的题目选择合适的方法,有利于解题速度的提高,有利于解题结论正确性的提高.
  • 对一道课本习题的探究
  • 普通高中课程标准实验教材必修数学(4)144页第5题:
  • 一道选择题的解法探究与深究
  • 在一次测试中,碰到了这样的一道选择题:
  • 对一类求离心率e的范围问题的探究
  • 圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量.椭圆的离心率能刻画其扁平程度,而双曲线的离心率反映的是其张口大小的量.由于离心率P分别与椭圆及双曲线的特征量a、b、c有量的直接联系,所以对离心率e的考察在每一次检测中几乎都会出现.
  • 解三角形
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:(1)正弦定理和余弦定理及其推导;(2)正弦定理和余弦定理的应用.
  • 数列
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:等差数列、等比数列的概念,等差数列、等比数列的通项公式与前”项和公式,等差数列、等比数列的有关性质及在公式推导过程中所涉及的数学思想方法.
  • 不等式
  • 1.本单元重、难点分析本单元的重点:不等关系,不等式的基本性质;一元二次不等式、二元一次不等式(组)的解法及应用。
  • 空间几何体
  • 1.本单元重、难点及考试热点分析 本单元的重点是认识空间几何体的结构特征,画出空间几何体的三视图、直观图,培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力.由空间图形说出其结构特征,由结构特征想象出空间几何体,进行空间图形与其三视图的相互转化.
  • 点、直线、平面之间的位置关系
  • 1.本单元重、难点分析 重点:空间点、线、面间的位置关系;直线、平面平行的判定及性质;直线、平面垂直的判定及性质;异面直线所成角,直线与平面所成角,两平面所成角;点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.
  • 直线和圆的方程
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:直线的方程,两条直线的位置关系,曲线和方程,圆的标准方程和一般方程,直线与圆,圆与圆的位置关系及判定方法,判断二元二次方程为圆的条件.
  • 高二年级期末复习自测题
  • 2011年北京大学保送生考试数学试题赏析
  • 点评此题即是双曲线的光学性质,在课本中有介绍,椭圆、抛物线也有类似的光学性质,请同学们查阅资料,自行证明.
  • 多元函数最值的求解策略
  • 多元函数最值问题是高中各级各类数学竞赛的热门话题,总结求解策略,探求解答通性通法,整合该类竞赛试题,将对参加数学竞赛的师生提供有益的课程资源.
  • 一个三元不等式及其应用
  • 在数学解题中,经常会遇到三个正数的不等式的证明问题,对这类问题,不少同学感到思维难度较大,解题过程复杂,本文介绍一个简单又平凡的不等式,并给出它的应用.
  • 正态分布实际问题的细节探微
  • 前几天,老师讲到这样一个题目:某市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走.第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,10^2);第二条路线沿环城公路走,路线较长。
  • 对双曲线中定长焦点弦的条数问题的探究
  • 本题是一道常规的解析几何问题.利用点斜式方程、一元二次方程根与系数的关系以及弦长公式,
  • 一道高考题的空间移植
  • 题目(2007年四川理,11)如图1,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是l,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上,则△ABC的边长是( )
  • 问题征解
  • 编者按:本栏目精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊.该栏目面向广大读者征集问题,问题的选题范围不做限制,但难度应适当控制,适宜高中学生解答.
  • 库珀教授的数学课
  • 一天,美国斯坦福大学商学院的数学教授库珀让同学们把自己的生日写在小纸片上,然后把所有的小纸片都折起来放在讲台上.他拿出一张5美元的钞票放在讲台上,问:“我用5美元打赌,你们中至少有两个人同月同日生.有人敢跟我赌吗?”
  • 开展第十一届高中生数学论文竞赛的公告
    [辅教导学]
    如何形成解题思路(李斌)
    从一道题的解答看数学思想方法的灵活选择(曹兵)
    二次函数图象的一个有趣结论(玉云化)
    寻找真正的通法(唐永 徐秀)
    多角度求解一道教学质量监测客观题(任宪伟 贾保生)
    一道模考题的多角度思考(张乃贵[1] 张俊[2])
    动态立几 精彩纷呈(李富成 张圣涛)
    一道调研考试题讲评的改进教学与反思(王伟波)
    一道高考题的解法及推广(庞景生)
    法向量截面法求解二面角(史嘉)
    简析一道“卓越联盟”自主招生试题(印琴红 徐勇)
    几何概型测度的类型及应用(何晓勤)
    论几何概型中的等可能(谭宝宝)
    三角形边的一个优美性质及其应用(汤深晶)
    一道竞赛题的解法探究与变式(李华)
    对称式在解题中的妙用(徐清海)
    通过一题看解三角形的常用策略(熊如佐)
    一题多变求“心”题(张琳晶)
    另解一道高考题(方章慧 王怀明)
    对两道“根的分布”试题的深入探究(周鸿高)
    一道高考试题的解法分析与背景研究(田林)
    一道2010年全国联赛试题的变式探究(韦培安)
    简解一道西班牙竞赛题的奇异变式(陈继雄)
    一类数列不等式问题的研讨(徐波)
    一道无理函数最值题的两个数学解法(侯典峰)
    用单调性证明数列的连续项积型不等式(邵明宪)
    一道联赛题的多视角思考(程贤清)
    例析坐标法解决与向量有关的问题(曾凌云[1] 张华芳[2])
    一类数列不等式的证明方法(林德宽)
    不同视角证明一个组合恒等式(刘兴东 周志国)
    错误发生之后——一个等差数列问题的错误辨析(陈传熙)
    谨防命题“悄悄”改变(许少华)
    一类恒成立问题的错解释疑(龚兵)
    恒成立问题中的“似是而非”(刘俊杰)
    [专论荟萃]
    对一道抛物线问题的探究(彭世金)
    一个数学命题的加强(刘奎)
    探究有趣的子集配对问题(凌云志)
    一道耐人寻味的抛物线习题(孙传平)
    《数学通报》1830号问题的简证与探究(徐国辉 舒红霞)
    一道调研题的研究性学习(周志国)
    一道教材习题的拓展与应用(刘族刚 匡婷)
    一道课本习题引出的一个解题模型(玉宏图)
    对几个不等式的统一证明及推广(卫福山)
    椭圆焦半径的性质及应用(王户世)
    换种思路求解一道高考题并探究(吴英)
    对一道课本习题的探究(卢镰峰)
    一道选择题的解法探究与深究(李治国)
    对一类求离心率e的范围问题的探究(方华辉)
    [复习参考]
    解三角形(黄清河)
    数列(杨拴运)
    不等式(马强)
    空间几何体(鄢小彬 韩花萍)
    点、直线、平面之间的位置关系(金飞)
    直线和圆的方程(杨学耀[1] 杨梓晨[2])
    高二年级期末复习自测题(赵榕 吴遵华)
    2011年北京大学保送生考试数学试题赏析(王毅)
    [课外园地]
    多元函数最值的求解策略(安振平)
    一个三元不等式及其应用(李歆)
    正态分布实际问题的细节探微(张乔 肖家怀)
    对双曲线中定长焦点弦的条数问题的探究(王岩 刘衍荣)
    一道高考题的空间移植(冯虎 冯克永)
    问题征解

    库珀教授的数学课(甘志国)
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