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  • 赏析2012年高考湖北卷理科压轴题
  • 2012年高考湖北卷理科第22题为:(I)已知函数f(x)=rx-x'+(1-r)(x〉0),其中r为有理数,且0〈r〈1.求f(x)的最小值;
  • 柯西不等式及其应用
  • 新课标教材选修4-5《不等式选讲》第三讲中介绍了柯西不等式,它不仅形式优美,而且具有重要的应用价值,学生通过对它的学习不仅能领略到它的几何背景、证明方法及其应用,而且能进一步感受到数学文化的美妙,提高自身的数学素养.
  • 谈立体几何试题中创新意识的体现
  • 高考中的立体几何试题,通常是“一大一小”或“一大两小”,其中的“一小”或“两小”即为客观性试题.立体几何中的客观性试题是立体几何试题改革与创新的“试验田”,近年出现了“百花齐放”的新景象,以下以近年各地的高考试题或是名校的模拟题为例,谈一下立体几何高考客观题的创新趋势,供参考.
  • 关注圆锥曲线中的三类弦问题
  • 圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.
  • 一类很纠结的问题
  • 我们知道,求解含参数的不等式问题,最常见的方法是分离参数法.可是利用分离参数法求解2006以来全国卷中的不等式问题,却没有任何效果.以至于很多老师试图探索它们的巧解,比如:运用洛比达法则、利用函数图象的凹凸性、运用极限思想等等,然而上述巧解并不适合于高中数学教学.
  • 对一道高中数学题的研究
  • 题目 甲、乙、丙三人传球,第一次球从甲传出,到第六次球又回到甲手中的传球方式有——种.
  • 定义在闭区域上的二元函数求值域问题
  • 若给定的目标函数是线性目标函数或者具有斜率、距离等几何意义,求闭区域上的二元函数的值域或最值,可以考虑利用线性规划知识解决.若给定的二元函数无明显的几何意义,上述方法不再奏效.高等数学中可以采用偏导数知识求解二元函数的值域.本文尝试寻找一种高中生能够接受的普遍适用的求二元函数值域的方法,即变量控制的方法:先把x,y中的一个暂时看成常量,另外一个看成变量,则问题转化为一元函数求最值问题.
  • 合理选择方程形式 优化解几运算过程
  • 圆锥曲线综合问题一直是数学高考的重点和难点,成为难点的一个重要原因是许多考生在解答这类试题时常常陷入繁杂的运算而不能自拔,但又觉得自己设计的解题思路自然合理,但试题的最后结果总是“千呼万唤不出来”.因此,如何提高运算能力、优化解析几何运算过程是我们必须解决的问题.对于涉及直线与圆锥曲线位置关系的试题,离不开直线方程的应用,笔者认为直线方程形式的选择是否合理,对运算繁简程度有很大的影响.本文通过一道试题的解答,说明如何做到试题内容及形式与直线方程形式的“匹配”,从而优化运算过程.
  • 一道函数零点问题的多视角求解
  • 题目已知函数f(x)=lnx+(1-m)x在区间[1,e2]内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是--.
  • 一道课本习题的深入探究
  • 文[1]给出了一道课本习题的解法及其变式,读后觉得意犹未尽.原题如下:
  • 一道联考题的解法探讨
  • 2012届湖北省八校第一次联考第20题:已知F是双曲线x2/16-y2/9=1的一个焦点,过F作一条与坐标轴不垂直,且与渐近线也不平行的直线l,交双曲线于A、B两点,线段AB的中垂线l’交z轴于M点.
  • 当等号不能成立时
  • 我们知道,在应用均值不等式求有关函数的最值时,必须注意“一正(各项均为正数)、二定(和或积为定值)、三相等(等号能否取到)”三个条件.若忽略了某个条件,应用它求最值就会出错,特别是“取得等号”这个条件最易被忽视.或者说,当不能取等号时,求函数最值就显得无能为力了.事实上,当等号不能成立时,转化为利用函数的单调性或利用求函数的导数来进行求解是行之有效的.本文再介绍另一种方法——待定系数法,此法可使下列各类型问题顺利获解.
  • 聚焦等号成立条件,让思路清晰流畅
  • 有一类不等式带“≥”或“≤”,我们称之为非严格不等式.在不等式的证明题中有许多这样的不等式,对于其中的某些不等式来讲,关注等号成立的条件对于解决问题是十分重要的.笔者在《数学通讯》上半月刊的《问题征解》栏目中多次看到这样的不等式证明题,本文借用2012年第3期中的一题与各位共同讨论.
  • 例析方程思想解题的三种境界
  • 问题过P(-2,0)作直线l与圆x+y2=1交于A,B,若A恰为线段PB的中点,则弦AB的长为——.
  • 排列组合中“插空法”的几种典型问题
  • 排列组合的问题通常可以用分类、枚举等方法来解决,涉及数据稍大点的,需要用基本计数原理来解决.在这一章节中,有相当多的处理技巧,如“插空法”、“捆绑法”、“隔板法”等,这种特殊处理通常能给我们的问题分析与列式带来极大的方便.但是,相当多的同学在处理“插空法”时,不问青红皂白,“当机立断”,有研个元素占据n个空,就是排列数Anm,出错就难免了.应该说,就这类“插空法”问题,细数还有多种情形,让我慢慢道来.
  • 一道高三调研试题的另解及思考
  • 题目(南通市2012届高三第一次调研测试数学第19题)已知函数f(x)=x+sinx.
  • 例析三角代换在解题中的运用
  • 三角函数是高考与竞赛中的重要内容,三角换元是解题的重要方法.在解题过程中,通过对题设与结论形式的联想、类比,找出题中看似陌生的面孔与熟知的三角函数的关系,实施三角代换,实现认知结构的迁移.
  • 第二届WMTC(青年组)团体赛第8题命题历程
  • 笔者受第二届世界数学锦标赛组委会的邀请,为第二届世界数学锦标赛就高中内容拟题15则,非常荣幸有四则题目被竞赛组委会录用,它们是(青年组)团体赛试题的第3,7,8和20题.下面就第二届世界数学团体锦标赛(青年组)团体赛试题中的第8题谈谈命题历程,希望对同学们有所帮助.
  • 活用导数定义巧解一类考题
  • 在学习过导数这一概念后,一般都是利用导数基本公式及运算法则等进行运算,而对导数的定义不够重视.实际上,导数的定义在求导数以及实际运用中有重要的作用.解题时,若能巧妙运用导数的定义,有时候能达到事半功倍的效果.
  • 与球有关的典型问题
  • 球是一个特殊的几何体,近几年高考对球的考查降低了难度,主要以选择题和填空题的形式出现,一般通过组合体的方式与球的体积、表面积及其他多面体的知识相联系起来进行命题,考查学生的空间想象能力和化归与转化能力.本文介绍与球有关的典型问题及其解法,供大家参考.
  • 一道概率趣题的探究、新解与拓广
  • 前苏联著名数学家格涅坚科的经典著作《概率论教程》有这样一道概率趣题:
  • 简解2011年重庆高考文科第15题
  • 题目(2011年重庆高考文科第15题)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是--.
  • 从结论出发求解解析几何问题
  • 解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科,在遇到解析几何的计算题或证明题时,我们通常是将已知的几何条件表示成代数式子,通过代数运算来解决问题,这可以说是解析几何的本质,但代数运算的运算量通常比较大,如果不分清问题形势,一味强调运算,不仅不能调动学生的积极性,而且有把获取数学知识、形成数学技能和能力的一种思维活动简单地理解为死算的嫌疑.在教学过程中,笔者发现,求解某些解析几何题时,如果能够转变思路,从结论出发来考虑,选择适当的解题方法,设计合理的解题途径,可以简化运算、迅速解题.
  • 一道高考复习题的学生视角
  • 1.问题背景 笔者在高三复习中碰到这样一道问题:
  • 《数学通报》2011号问题的三角证法
  • 《数学通报》2011年第8期刊登的2011号问题如下:
  • 一道2012年自主招生北约联考试题的联想
  • 2012年自主招生北约联考试题中有一道三角形试题,题目描述简单,解答就很容易.但这种优美的设问方法,给我们带来很多联想,有利于我们对数学思维的展开.
  • 由一道课本习题引起的思考
  • 高中数学必修2(人教版)第133面B组第3题为:
  • 二倍角公式——三角恒等变换的多面手
  • 二倍角公式是三角函数中常用的一组公式,通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值,二倍角公式包括正弦二倍角公式,余弦二倍角公式以及正切二倍角公式,二倍角公式均可通过和角公式推出,二倍角公式及其变形运用在处理三角函数问题中有着十分重要的作用,下面举例说明.
  • 一道最值问题的发散思维
  • 例 求曲线C:x+y=1上的点到原点的距离的最小值.
  • 一道联考试题的解法分析及探究
  • 一、题目展示 如图1,已知中心在原点0,焦点在z轴上的椭圆T过点M(2,1),
  • 一道课本习题的解法探索
  • 苏教版必修2“平面解析几何初步”一章安排有这样一道习题:
  • 一道2011年北京大学保送生试题的简证与注记
  • 题目(2011年北京大学保送生试题)已知圆x2+y2=1上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)满足x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,求证:x12+x22+x32=y12+y22+y32=3/2.
  • 一个错解的剖析
  • 题目已知P={x|x2~8x-20≤0),S={x|1-m≤x≤1+m),是否存在实数m,使“x∈P”是“X∈S”的必要条件?若存在,求出m的范围.
  • 从双曲线中的假象谈起
  • 同学们知道,在数学学习中,对一个基本概念、性质、公式,以及基本的数学方法的理解和掌握,往往需要经历一个由模糊不清到清晰明了的认识过程,其间甚至难免出现一些扑朔迷离的假象.因此,如何揭示隐藏在假象背后的真相是数学学习中的重要方面.本文仅以双曲线中的一些常见的假象为例,谈谈涉及假象的主要类型,以及如何应对假象的一些方法,以供同学们学习时参考.
  • 抽象函数的命题要结合具体函数模型
  • 文学创作强调贴近生活,数学中抽象函数的命题也要结合具体的函数模型,下面结合武汉市2012届高三二月调研考试中抽象函数的命题来谈谈这一问题.
  • 一个涂色问题错解剖析
  • 例题 如图1所示,现有5种不同的颜料,将四棱锥A—BCDE的每一个顶点涂上一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜色不同,问共有多少种不同的涂色方法.
  • 三角函数问题中应避免角的范围失控
  • 三角函数问题中,不但角的范围决定着三角函数的取值,同时三角函数值又决定了角的范围.在求解一些涉及角的范围与三角函数取值问题时,如果不能很好地把握两者之间的制约关系,仅仅从表面现象出发而不能进行深层次的挖掘,就会出现解题错误.本文结合的几个实例,指出常见的错误解法,说明在三角函数问题中对给出角的范围进一步缩小的重要性,并介绍对角的范围进行缩小的方法.
  • 一道统考题的另解及深入探究
  • 李治国和徐友成、王国涛三位老师先后来稿对一道统考题’进行了研究,两篇稿件各有特色,但内容存在重复之处,故将两篇稿件修改后合并成一篇文章刊出,特此说明.
  • 对一道2012年高考模拟试题的探究
  • 安徽省安庆市2012年高三模拟考试(二模)文科第20题:
  • 抛物线的两个有趣性质
  • 经过探究,笔者得到了抛物线的两个有趣性质,现介绍如下.
  • 一道高三模拟题的探究与推广
  • 题目(江苏省南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试填空题第13题)设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a〉b〉0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值是--.
  • 解三角形
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:正弦定理、余弦定理的推导及其应用.
  • 数列
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:等差数列、等比数列的概念、通项公式及前n项和公式,等差数列、等比数列的有关性质及其应用.
  • 不等式
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:不等关系与不等式的基本性质;一元二次不等式、二元一次不等式(组)的解法及应用;简单的线性规划问题;
  • 空间几何体
  • 1.本单元重、难点、热点分析 重点:(1)理解平行投影与中心投影的区别;(2)掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,会用斜二测画法画其直观图;
  • 点、直线、平面之间的位置关系
  • 1.本单元重、难点分析 本单元的重点:四个公理,空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,直线与平面平行的判定及性质,直线与平面垂直的判定及性质,平面与平面平行的判定及性质,平面与平面垂直的判定及性质,两异面直线所成的角,空间直线与平面所成的角,二面角的平面角,点到平面的距离.
  • 直线和圆的方程
  • 1.本单元重、难点分析 直线与圆是最基本、最简单的曲线,“直线与圆的方程”单元是进一步学习选修2—1“圆锥曲线”的基础,本单元的知识重点有三个:(1)直线的方程和两直线的位置关系;(2)圆的方程;(3)点、直线、圆间的位置关系.
  • 向量的定比分点公式的应用
  • 平面向量是新教材的一个亮点,它应用广泛.向量的定比分点公式结构美观,用它来解决国内外一些数学竞赛题,别有一番风味.本文列举数例,以飨读者.
  • 向量回路法简解竞赛题
  • 例1 (第23届“希望杯“全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知△B=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,AO.AC的值是--.
  • 一道预赛题的解法分析
  • 2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题第10题为:已知正实数a,b满足a2+b2=1,且a3+b3+1=m(a+b+1)3,求m的取值范围.
  • 2011年清华金秋营数学试题及解答
  • 1.求sin π/n sin 2π/n…sin(n-1)π/n的值.
  • 一道清华大学保送生测试题的解答及推广
  • 题目(2012年清华大学保送生测试题)在△AOB内(含边界),其中O为坐标原点,A在y轴正向,B在x轴正向,且有OA=OB=2.
  • 一道预赛题的解法探究和拓展
  • 题目(2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是△ABC的内心,若AO=pAB+qAC,则p/q的值为——.
  • 一个组合恒等式的模型解释与应用
  • 题目 求证:Cnm=m+1/n+1Cn+1m+1 这是新课程教材人教版《数学》(选修2—3)25第6题,我们在证明这个组合恒等式时,
  • 探究6465+6564是素数还是合数?
  • 在一本初等数论的书上,我看到这样一个问题:判断6465+6564是素数还是合数?
  • 意外的“错误”
  • 我以前一直以为:在数学证明题中,如果证明出了最后的结论,那就应该是对的.恰恰是“应该”二字。让我上了一节印象深刻的数学课.
  • 问题征解
  • 本栏目精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊.该栏目面向广大读者征集问题,问题的选题范围不做限制,但难度应适当控制,适宜高中学生解答.欢迎自编新问题,也可以在现有问题基础上进行改编,提供试题时请注明来源,并请附上解题思路分析和详细解答.
  • [辅教导学]
    赏析2012年高考湖北卷理科压轴题(魏仁洪)
    柯西不等式及其应用(熊诗茂)
    谈立体几何试题中创新意识的体现(许少华)
    关注圆锥曲线中的三类弦问题(黄汉桥 李鹏)
    一类很纠结的问题(胡寅年)
    对一道高中数学题的研究(郑定华)
    定义在闭区域上的二元函数求值域问题(李春雷)
    合理选择方程形式 优化解几运算过程(吴文尧 邬坚耀)
    一道函数零点问题的多视角求解(任宪伟 张令元)
    一道课本习题的深入探究(林德宽 安福辉)
    一道联考题的解法探讨(侯修国)
    当等号不能成立时(陈浩 刘元利)
    聚焦等号成立条件,让思路清晰流畅(陈大连)
    例析方程思想解题的三种境界(庄丰)
    排列组合中“插空法”的几种典型问题(杨品方 艾建生)
    一道高三调研试题的另解及思考(郑丽兵)
    例析三角代换在解题中的运用(郑良)
    第二届WMTC(青年组)团体赛第8题命题历程(戴志祥)
    活用导数定义巧解一类考题(吕从宝)
    与球有关的典型问题(王彬 王伟)
    一道概率趣题的探究、新解与拓广(杨华)
    简解2011年重庆高考文科第15题(赖源霞)
    从结论出发求解解析几何问题(陆建明)
    一道高考复习题的学生视角(胡徐波)
    《数学通报》2011号问题的三角证法(卞青青)
    一道2012年自主招生北约联考试题的联想(蔡祖才)
    由一道课本习题引起的思考(王业和)
    二倍角公式——三角恒等变换的多面手(王中华)
    一道最值问题的发散思维(余建国)
    一道联考试题的解法分析及探究(李培颖)
    一道课本习题的解法探索(张俊)
    一道2011年北京大学保送生试题的简证与注记(秦庆雄 范花妹)
    一个错解的剖析(俞新龙)
    从双曲线中的假象谈起(康宇)
    抽象函数的命题要结合具体函数模型(王艳荣)
    一个涂色问题错解剖析(武红斋)
    三角函数问题中应避免角的范围失控(殷长征)
    [专论荟萃]
    一道统考题的另解及深入探究(李治国[1] 徐友成[1] 王国涛[2])
    对一道2012年高考模拟试题的探究(代银 戴晨希)
    抛物线的两个有趣性质(陈春[1] 赵国君[2])
    一道高三模拟题的探究与推广(姚东盐)
    [复习参考]
    解三角形(刘于时 邓勇)
    数列(王德林)
    不等式(王强)
    空间几何体(陈贤才)
    点、直线、平面之间的位置关系(洪汪宝)
    直线和圆的方程(匡婷 刘族刚)
    [课外园地]
    向量的定比分点公式的应用(蔡玉书)
    向量回路法简解竞赛题(张国治)
    一道预赛题的解法分析(刘剑辉)
    2011年清华金秋营数学试题及解答(丁永泉)
    一道清华大学保送生测试题的解答及推广(刘天宇)
    一道预赛题的解法探究和拓展(张欣然)
    一个组合恒等式的模型解释与应用(王攸 姚先伟[指导教师] 吴官伟[指导教师])
    探究6465+6564是素数还是合数?(祁博亮)
    意外的“错误”(程自强 张培强[指导教师])

    问题征解
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