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  • 一道高考题的解法及规律探究
  • 本文研究2012年的一道高考题,探究题型规律及解题策略,供读者参考.题1 (2012年高考四川文科第12题)设函数f(x)=(z-3)3+x-1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+n2+…+a7= ( )
  • 用“和谐统一美”的观点解决一道高考数列题
  • 和谐(统一)性是数学结构美的重要标志,是数学家不懈追求的目标,也是发现与创造的美学方法之一.找差异,求统一,促转化,为我们解题思绪的流淌而源源喷吐甘泉,不但可以成功地指导我们如何解题,而且让我们欣赏和感受到了数学和谐(统一)的美!利用“和谐统一”的数学美的观点,能够给我们解决问题提供很多有意义的启示和帮助.
  • 2012年江苏卷第19题的解法赏析与推广
  • 编者按:孙芸、潘秀明、徐爱勇、印琴红和徐勇等老师分别来稿对2012年江苏卷第19题进行了研究,4篇稿件各有特色,但内容存在重复之处,故将4篇稿件合并修改成一篇文章刊出,特此说明.
  • 一道高考压轴题证法的改进及利用
  • 一、问题提出(2012年湖北高考文科压轴题)设函数厂(z)=axn(1-z)+b(z〉O),n为正整数,a,b为常数,曲线Y-f(x)在(1,f(1))处的切线方程为z+Y—1.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;
  • 对高考题中一对“母子不等式”的探究及变式
  • 近几年高考,含有参数不等式(函数不等式)恒成立的导数问题频频出现,对一些考生来说已招架不住,再加上第(3)问证数列不等式对考生来说无疑是雪上加霜.希望笔者的这几道题能给广大学生一些启示!
  • 利用|a|>|b|←→a2>b2巧解题
  • 近年来,有关绝对值的试题在高考和自主招生考试中频频出现.文[1]~E73对这类问题进行了解法归纳和性质推广.值得注意的是,很多学生拿到绝对值问题仍然先人为主,借助绝对值的代数意义进行讨论,增大了运算量,效率低下甚至出现错误.
  • 特值探路,准确定位,快速答题
  • 在解析几何中,与“定”有关的问题是近几年高考中出现频率较高的一类问题,也是学生比较害怕的一类试题,解决此类问题如果没有一个准确的目标,就像在大海中航行一样,很容易迷失方向.而用特值探路,就像是航线中的灯塔,能让你准确定位,快速答题.下面将笔者近期碰到的几道试题呈献出来,同读者共赏,同时希望能给同学们解决此类问题能有所帮助.
  • 利用思维导图剖析一道高中竞赛试题
  • 2012年江苏省高中数学竞赛初赛试题第14题为:题目设口,b,c,d是正整数,a,b是方程z。-(d-c)x+cd-0的两个根.证明:存在边长是整数且面积为曲的直角三角形.试题条件清晰,是一道值得回味的好试题,参考解答利用构造法证明,证法技巧性强.
  • 例谈补形法在立体几何中的应用
  • 立体几何是培养学生空间想象能力最有力的工具,也是高考的重要考点,在课改之前,主要用几何法,几何法对学生的空间想象能力和推理论证能力具有较高的要求.新课改后,由于有了空间向量这个有利工具,学生不再纠结于错综复杂的空间几何关系,而是通过建立空间直角坐标系利用向量法求解,因为不少学生对坐标方法的程序化、代数化的解题模式情有独钟,但涉及不便于直接建立空间直角坐标系的问题时感到比较棘手.
  • 参数统消、分离参数——尽显定值本色
  • 如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在,则称为定值,探讨定值的问题可以是解答题,也可以是证明题,求定值的基本方法是:先将变动元素用参数表示,然后计算出所需结果与该参数无关;也可将变动元素置于特殊状态下,探求出定值,然后再予以证明,因为毕竟是解几中的定值问题,所以讨论的立足点是解几知识,工具是代数、三角等知识,基本数学思想与方法的体现将更明显,更逼真.定值问题可归结为两类.
  • 巧用结论,妙证不等式
  • 证明不等式经常与函数导数结合在一起,作为高考的压轴题出现.对这类题,学生往在考场上花费很多时间,但得分甚少.如果同学们能巧用题目隐含的结论,会让你达到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的境界.现举几例加以说明.
  • 没有定值条件就不能用均值不等式求最值吗?
  • 一次上课时,涉及到下面这个问题:题目1已知0<α<п/2,求y=1/cosα+1/sinα的最小值.对于这个问题,我采用了整体换元法解决,即:y=sinα +cosα/sinαcosa
  • 换元法求三角函数的最值
  • 文[1]采用平方配凑、待定系数、均值不等式等方法,探讨了一类三角函数的最值问题.这种方法普适面较广,应用价值较大,值得读者重视.对这类三角函数最值问题,也可先采用局部换元转化为代数函数,再利用求导方法解答之,这样的化归方法自然、便捷,免去了配凑系数之困扰.本文介绍换元法求三角函数的最值的技巧和途径,供读者参考.
  • 一道高三质量调测试题的解法与探究
  • 题目(2012年绍兴市高三教学质量调测题)已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2十bx+C≤4的解集为[x1,x2]U[x3,x4],(x2〈x3),则(2x4-x3)-(2x1-x2)的最小值是___________.
  • 评析一道三角与向量综合的调考试题
  • 武汉市2012届高中毕业生四月调研测试第17题:在AABC中,角A、B、C的对边分别为a、6、c,已知B=60°,(Ⅰ)若cos(B+c):-11/14求cosC的值;(Ⅱ)若a=5,→/AC·→/CB=5,求AABC的面积.
  • 巧用对称 助解赛题
  • 对称通常指图形或物体对某个点,直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有--对应关系.在数学中,对称的概念略有拓广(常把某些具有关联和对立的概念视为对称),这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分,同时也为人们研究数学提供了某些启示.
  • 一道高考题的流行错解分析
  • 例1 (2011年全国卷Ⅱ理科第12题)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-1/2,<a-c,b-c>=60°.则|c|的最大值等于 ( )
  • 在习题的错解与导出正解的过程中得到的启示
  • 在高三复习课中,笔者遇到下面一道习题,当时觉得题目虽一般,解法却很新颖,准备与学生们共享,结果却失了算,现整理出来与各位同仁分享.题目若关于x的不等式口a≤3/4x2—3x+4≤b的解集恰好是[a,b(a〈6),则a+b的值为 ( )
  • 一道竞赛题的分析与反思
  • 笔者在做2011年全国高中数学联赛吉林赛区预赛卷时,发现第3题没有正确选项,现整理出来,供读者参考.题目设函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(一1,1]时,f(x)=1-x2函数
  • 充分条件与必要条件认识的误区
  • 教学中,我们发现学生对充分条件和必要条件的理解一般仅停留在机械记忆的层面上,一般来说,学生被直接且明确地要求判断P是q的充分条件还是必要条件等问题时,多数情况下也能解决,但更深层次的应用,学生往往不能自觉地从充分条件和必要条件上去进行分析,经常出现思维上的混乱.下面通过几个案例予以说明.
  • 对一道武汉四月调考题的思考
  • 武汉市2012届高中毕业生四月调研测试文科试卷第22题:已知椭圆г:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为2/3,半焦距为c(c〉0),且a-c=1.经过椭圆的左焦点F,斜率为R1(R1≠O)的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
  • 对一道课本习题的探究性学习
  • 普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修5习题2.5A组第6题是:已知Sn是等比数列{an)的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.下面从三个不同角度对它进行探究性学习,希望能给同学们带来启发和帮助.
  • 试题无不妥,改动失韵味
  • 题目设f(x)=λ1(a/3x3+b-1/2x2+x)+λ2x·3x,a,b∈R,a〉0,当λ1=0,λ2=1时,求函数y=f(x)-3(1n3+1)x的最小值.这道试题是2010年10月湖北省百所重点中学联考第20题第(2)问,文[1]指出了这道题的命制欠妥及参考答案中的错误,分析道“经过研究发现,此题如果求定义域R上的最小值,高中阶段学生很难完成的”,并将此题修改为如下试题:
  • 解答两道2011年广东高考题的体会
  • 笔者在网上看到一些广东的网友说2011年广东高考的最后两题太难,这引起了笔者的兴趣,便从网上找来题目,想看看究竟难到什么样子.本文介绍笔者解答这两道题的体会.
  • 不等式“放”或“缩”的五条基本途径
  • 证明不等式的过程,说穿了就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,然后作一系列合情合理的、恰到好处的“放”或“缩”的过程.有些不等式只要放(或者缩)这么一点点,问题一下子就解决了.要想学会对不等式进行合理的“放”或“缩”,首先应熟悉“放”或“缩”的一些基本途径,这是一个基本功问题.本文介绍不等式“放”或“缩”的五条基本途径,供同学们在解题时模仿与参考.
  • 一类多变量函数压轴题的破解策略及规律探究
  • 笔者发现,在近几年的高三模拟考题中,时常出现一类给出函数图象上任意两个不同点的坐标,考察该过两点的割线的斜率与图象上某点处切线斜率之间大小关系的函数综合问题.这类问题由于含有多个变量,乍一看显得非常复杂,同时还常有参数在内“搅局”,更使问题增添许多“混乱”.面对此类问题,学生大多难以应对,不知从何处找到突破口.
  • 一类条件不等式问题的解法探究
  • 本文就形如“已知不等式f(x1z2,…,xn)≤0(≥0),求g(x1,x2,…,xn)的最值”的条件不等式问题的解法加以探究,以飨读者.例1(《数学通讯》问题征解题)正数x,y,z满足1/x+x/y+x/z≤1,试求x+y+z的最小值及相应的z,Y,z值.
  • 一道奥林匹克训练题的变式和应用
  • 题目设P为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上任一点,双曲线在P处的切线与x轴交于点Q,F1,F2为焦点.证明:PQ平分∠F1 PFz.这是《中等数学》数学奥林匹克高中训练题(152)第9题.笔者阅读后,深受启发,通过思考、研究,得出该命题的一个变式,并加以应用.
  • 一个选择题的探究过程及体会
  • 一.问题的提出前不久,我班在高三第一轮复习二次函数这个内容时,老师布置一个思考题,让全班同学探究,比一比谁的解决方法多,谁的解决方法好.
  • 求解一道月考填空压轴题的三个“时”“后”
  • 下题是我校高二上学期月考填空压轴题.题目已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1,C为弧AB中点,点D、E分别在半径OA,0B上,若CD2+CE2+DE2=5/2,则OD+OE的取值范围是___________.
  • 一道2008年北大自主招生试题的巧证
  • 题目已知a1,a2,a3,b1,b2,b3是非负数,且满足al+a2+a3=b1+b2+b3,ala2+a2a3+ala3-blb2+bzb3+blb3,若min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}.求证:max{a1,a2,a3)≤max{bl,b2,b3}.这是2008年北京大学自主招生数学试题第三题,本文拟给出其一个巧证.
  • 问题征解
  • 编者按:本栏目精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊.该栏目面向广大读者征集问题,问题的选题范围不做限制,但难度应适当控制,适宜高中学生解答.欢迎自编新问题,也可以在现有问题基础上进行改编,提供试题时请注明来源,并请附上解题思路分析和详细解答.每期问题征解时间为40天,欢迎广大读者(尤其是高中学生)踊跃提供解答,提供解答时请标明题号.本刊隔两期刊登供题者或读者提供的解答和有价值的推广,并公布前五位(按来稿时间顺序)提供正确解答的读者名单.提供问题或回答问题时,请在信封上注明“学生阅读刊《问题征解》”字样,也可发送到电子邮箱:[email protected].com.cn.
  • [辅教导学]
    一道高考题的解法及规律探究(姚尉林 孙婷婷)
    用“和谐统一美”的观点解决一道高考数列题(刘护灵)
    2012年江苏卷第19题的解法赏析与推广(孙芸[1] 潘秀明[2] 徐爱勇[3] 印琴红[4] 徐勇[4])
    一道高考压轴题证法的改进及利用(张世林 向宏涛)
    对高考题中一对“母子不等式”的探究及变式(夏忠宇)
    利用|a|>|b|←→a2>b2巧解题(郑良)
    特值探路,准确定位,快速答题(李治国)
    利用思维导图剖析一道高中竞赛试题(蔡祖才)
    例谈补形法在立体几何中的应用(向艳)
    参数统消、分离参数——尽显定值本色(熊如佐)
    巧用结论,妙证不等式(王光国)
    没有定值条件就不能用均值不等式求最值吗?(达延俊)
    换元法求三角函数的最值(安振平)
    一道高三质量调测试题的解法与探究(马根泉)
    评析一道三角与向量综合的调考试题(王胜林)
    巧用对称 助解赛题(徐勇[1] 印琴红[2])
    [错例辨析]
    一道高考题的流行错解分析(周启新)
    在习题的错解与导出正解的过程中得到的启示(林友莲)
    一道竞赛题的分析与反思(舒宾川)
    充分条件与必要条件认识的误区(苗勇)
    [专论荟萃]
    对一道武汉四月调考题的思考(陈春)
    对一道课本习题的探究性学习(甘立瑞)
    [复习参考]
    试题无不妥,改动失韵味(陈继雄)
    解答两道2011年广东高考题的体会(杨先义)
    不等式“放”或“缩”的五条基本途径(戴志祥)
    一类多变量函数压轴题的破解策略及规律探究(傅建红)
    [课外园地]
    一类条件不等式问题的解法探究(吕辉)
    一道奥林匹克训练题的变式和应用(孔繁文)
    [学生论坛]
    一个选择题的探究过程及体会(许煜远)
    求解一道月考填空压轴题的三个“时”“后”(赵艺涵)
    一道2008年北大自主招生试题的巧证(张息壤 侯典峰[指导老师])

    问题征解(陈继雄[供题])
    《数学通讯:学生阅读》封面

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