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  • 数学基础知识学习方法系列
  • 1.学会善待失误同学们在数学学习过程中,难免会出现各种各样的失误.面对失误,是弃之不顾,还是理性思考?采取何种态度,将直接影响到学习数学的成效.正确的做法是,在数学学习中,要善待失误!善待失误,体现在对失误要有一种追问反思的态度,即善于思考发现失误究竟误在何处?为何失误?如何避误?能回答好这三个问题,你就能把"善待失误"较好地落到实
  • 巧用代换x=x+a-a证明不等式
  • 数学素质教育的核心问题是培养数学创新能力.在不等式证明中引进创新方法:巧用代换x=x+a-a证明不等式,可收到较好的效果,下面举例说明.例1证明:对于和为1的正实数a1,a2,
  • 三垂线定理(逆)与三角形的垂心
  • 三垂线定理反映了空间三条直线的垂直关系,而三角形的垂心是三角形的三条高线的交点,二者的统一点是直线垂直.因此可通过三垂线定理(逆)证明三角的垂心,也可借助三角形的垂心去用三垂线定理(逆).在证题中若注意到这点,对提高证明能力大有好处,现举例说明.
  • 关于复合函数的一个错误命题
  • 文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值
  • 一道易错题的解析
  • 例题已知平面内有一定点A与一定直线l,点P是平面上的动点,且点P到l的距离比到点A的距离小2,则点P的轨迹是().(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)无法确定许多同学都认为答案是(C),因为大家习惯上都会像图1那样在平面内任取一点P,
  • 一道习题的典型错解
  • 两根之积在解题中的特殊功用
  • 一般来讲,解析几何问题中涉及弦长多是韦达定理两根之和与两根之积联用;若问题只与弦的中点有关,只用两根之和即可.那么是否单独使用两根之积的情形就没有呢?事实并非如此.通过下面例题,读者即可领略韦达定理两根之积在解几问题中的特殊功用.例1过点A(-3,1)向圆x2+y2=5引切线,求二切线的夹角.
  • 一类“形似而神异”的递推数列
  • 2011年广东高考数学第20题第(1)问是:设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=(nan-1)/(an-1+2n-1)(n≥2),求数列{an}的通项公式.看到这个问题,使我们想起了2006年江西高考22题第(1)问:已知数列{an}满足:a1=32,且an=(3nan-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式.虽然考试的时间不同,但考生还是感
  • 在运动变化中探求直线与平面的关系
  • 立体几何中的线线之间,线面之间或面面之间,是否存在某种关系?有时我们用性质定理难以回答,这时我们可在运动变化中求解它们之间的关系,分析运动起始位置时它们的关系,推理出运动过程中某种关系的存在性,请看三例.例1异面直线a,b夹角为50°,过空间一点P的直线l与a,b夹角都为30°的直线有
  • 探求数列问题的函数视角
  • 数列是一类特殊的函数,其定义域只能取正整数集(或其子集).牵涉到数列的单调性问题,或求与数列最大(小)项的问题,往往需要从函数角度去分析判断数列的特性,通过对函数定义域限定为正整数集范围内,利用函数的单调性或函数的值域来寻求.本文就数列这一特殊函数,例析在涉及到单调性问题时的一般
  • 例谈构造法解题
  • 利用构造法解题,要改变常规的思维方式,独避蹊径,不断的挖掘数学的深层次的客观规律,这对提高解题效率,激发学习兴趣,培养创新精神都是大有裨益的.本文将从七个实例说明如何巧用构造法解题.例1(2010重庆)已知x〉0,y〉0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是().
  • 数学解题的起步阶段——说题
  • 说题,就是用不同的数学语言说清楚题目的已知条件,说清楚题目的解题目标和说清楚题目的解题过程.而一题多解,往往来源于对题目已知条件的不同数学语言理解的深刻性.数学学习,事实上就是数学语言的学习,就是数学的文字语言、符号语言和图形语言相转化的学习.当然,数学解题也离不开数学语
  • 宏观把握 整体处理
  • 在解题过程中,如果忽视问题的整体联系,过于注重细节,往往造成"只见树木不见森林",导致解法针对细枝末节,过程繁琐不堪.反之,若能通过审题,找到各个量之间的关系,从全局着眼,宏观把握,巧妙地利用整体,则事半功倍.例1如图1,设圆x2+y2=12与抛物线x2=4y相交于A、B两点,
  • 横遭冷遇的天才数学家——阿贝尔——谨以此文纪念阿贝尔诞辰210周年
  • 1.艰辛不幸的青少年时代尼耳期.亨利克.阿贝尔(N.H.Abel,1802~1829)1802年8月出生于挪威的芬德一个农村家庭,是七个孩子中的第二个,父亲是一个乡村牧师,他从小接受父亲的启蒙,贫困的生活,使得阿贝尔从小体弱多病,但阿贝尔天性聪明,悟性极高,对数学特别感兴趣.1817年他遇到了一个能赏识他才能的第一位伯乐——
  • 一道赛题的推广命题
  • 2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第二题是:如图1,P是半圆⊙O:x2+y2=1(y≥0)上位于x轴上方的任意一点,A、B是直径的两端点,以AB为一边作正方形ABCD,PC、PD分别与AB交于E、F.求证:BE、EF、FA成等比数列.证完此题以后,我们自然会想:当半圆x2+y2=1(y≥0)被换成更一般的半圆:x2+y2=
  • 三个共轴等离心率椭圆的有趣性质
  • 我们知道,椭圆x2/a2+y2/b2=λ1(λ1〉0)与椭圆x2/a2+y2/b2=λ2(λ2〉0,λ2≠λ1)有相同的对称轴(x轴和y轴)和相等的离心率e=((2a-b2)/a)~(1/2),下面我们给出关联三个共轴等离心率椭圆的两个有趣性质.定理1给定两个共轴等离心率椭圆C1:
  • 杨辉三角的一个奇妙性质及其证明
  • 在《中学生数学》初中2011年第11期中,数苑纵横有一篇文章是李忠勇的《杨辉三角的一个奇妙性质》,其中提到,仔细观察杨辉三角,发现左右两行都是数字1,猜想杨辉三角是否与11有某种关系呢?我们发现,杨辉三角前5行中每行数字组成的数都是11的幂,即:1=110,11=111,121=112,1331=113,14641=114.但从第6行开始,因为有两位数的存在,故
  • 对两道“希望杯”题的思考
  • 1.二十二届希望杯高一第1试第十七题:已知点M(-2,-1)和N(1,-5),又点P在圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上运动,求△MNP面积的最大值.解如果从三角形面积的本质来分析,那么问题就变得简单,因为线段MN的长不变,只求以MN为底边的△MNP最大高,即为圆C上到MN的最大距离,所以只要过圆C作和
  • 一道联赛题的多解探究
  • 2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题:函数f(x)=(1-2x)~(1/2)/(x+2)的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有(1-x2)~(1/2),让人联想到三角公式,于是可采用三角换元法.解法1易知函数的定义域为[-1,1].
  • 例谈“零点设而不求”在解题中的应用
  • 函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉",至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此举例说明零点设而不求法在解题中的应用.
  • 2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答
  • 如何利用导数证明不等式
  • 利用导数证明不等式是近年来高考试题的热点,常根据所要证明的不等式采用构造函数法,但如何构造?怎么想到的?为使解题思路来得自然,笔者根据欲证不等式的结构特征,题设条件不妨分为显性构造、隐性构造和等阶构造.不论哪一种方法,构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键,最终都是把不等式的证明问题转化为用导数求函数的极大
  • 用导数处理二元不等式问题
  • 2011年安徽高考理科数学试卷第19题是一个二元不等式的证明问题,很多同学不能适应.其实,作为研究函数的重要工具——导数,同学们是相当熟悉的,用导数解决一元不等式问题是一种常见的题型,而用导数处理二元不等式的问题没有引起人们的重视.本题若用导数证明就省去繁琐的恒等变形,显得亲切自然.用导数研究二元不等式问题常见如下三种类型.一、貌似二元不等式,其实就是一元函数
  • 2011年一高考题的辅图别解
  • What is the limit of a function in precise way?
  • 对一个映射问题的认识
  • 问题设集合A={1,-1},B={1},从集合A到集合B能建立多少个映射?解由于A中1,-1只能与B中的1对应,根据映射的概念从A到B只能建立1个映射.我对上述解法产生了疑问.我是这样想的:从A到B能建立很多函数,比如:f1:A→Bx→x2;f2:xA→→|Bx|;f3:xA→→1B即f1(x)=x2,f2(x)=x,f3(x)=1.可以看出:f1:A→B中对应关系为平方,f2:A→B中对应关系为取绝对值,f3:A→B把所有的x对应成1,三种对应
  • 一道竞赛题的简解
  • 题目(2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题第13题)如图,正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3,且点B,C,G在同一直线上,M是线段AE的中点,连结MF,则MF的长为.解析(坐标法)以BG所在直线为x轴,以BA所在直线为y轴,建立直角坐标系.则A(0,2),F(2,3),E(5,3),AE中点M{25,25},利用两点间的距离公式求得
  • 对一类问题解法的质疑及改进
  • 在二项式定理的复习中,我们经常会遇到这样类型的题目:
  • 广思深究 追求卓越
  • 有时候,我们对老师的讲授是不能过分迷信的,因为老师也有出错的时候,对老师的讲授要广思深究,这样才会收获更大.下面一案就是一个很好的例子.例题(2011浙江省样卷)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别为线段AD,BC上的点,∠ABE=20°,∠CDF=30°.将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线AB与直线DF所成角的最大值为
  • 一概率问题解答的商榷
  • 本刊[1]总结了2010年高考概率问题与其它知识的交汇,读后深受启发,但文中例4的解答值得商榷,原文如下:例4(2010广东理)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频
  • 一道奥赛题的简证
  • 抓住试题特征巧解一道赛题
  • 巧构重心解一类题
  • 简解一道高考题
  • [学好基础知识]
    数学基础知识学习方法系列(康宇 潘家东)
    巧用代换x=x+a-a证明不等式(冯克永)
    三垂线定理(逆)与三角形的垂心(赵建勋)
    关于复合函数的一个错误命题(申祝平)
    一道易错题的解析(王献英)
    一道习题的典型错解(魏平球)
    [思路与方法]
    两根之积在解题中的特殊功用(张泽仙 尚继慧)
    一类“形似而神异”的递推数列(韦培安)
    在运动变化中探求直线与平面的关系(王户世)
    探求数列问题的函数视角(孙春生)
    例谈构造法解题(高凯)
    数学解题的起步阶段——说题(何豪明)
    宏观把握 整体处理(郑良)
    [数学史话]
    横遭冷遇的天才数学家——阿贝尔——谨以此文纪念阿贝尔诞辰210周年(周勇)
    [数学纵横]
    一道赛题的推广命题(杨同伟)
    三个共轴等离心率椭圆的有趣性质(姜坤崇)
    杨辉三角的一个奇妙性质及其证明(龙艳君)
    [数学竞赛之窗]
    对两道“希望杯”题的思考(王建荣[1] 吴芳[2])
    一道联赛题的多解探究(温日明[1] 旋富英[2])
    [高考园地]
    例谈“零点设而不求”在解题中的应用(邹生书)
    2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答(郑元禄)
    如何利用导数证明不等式(何伟军)
    用导数处理二元不等式问题(侯立刚)
    2011年一高考题的辅图别解(王承宣)
    [跟我学习AP微分难度课程]
    What is the limit of a function in precise way?(梁宇学)
    [中学生习作]
    对一个映射问题的认识(唐世泽 余小芬)
    一道竞赛题的简解(何人可 李芳萍)
    对一类问题解法的质疑及改进(杨洁琼 吕辉)
    广思深究 追求卓越(褚壹钦 王修凯)
    [读者来信]
    一概率问题解答的商榷(杨华)

    一道奥赛题的简证(黄灿 黄元华)
    抓住试题特征巧解一道赛题(刘奎)
    巧构重心解一类题(郑爽)
    简解一道高考题(甘志国)
    《中学生数学:高中版》封面

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