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文献检索:
  • “立体几何”与“解析几何”综合题举隅 免费阅读 下载全文
  • 在复习教学中 ,教师有意加强数学学科内综合题的解题训练 ,对于学生创新意识和实践能力的培养 ,对于学生适应高考改革的需要是非常必要的 .笔者仅就“立体几何”与“解析几何”的综合 ,略举几例供参考 .1 以空间图形为背景的轨迹问题例 1 设两异面直线a、b成 60°角 ,它们的公垂线EF长为 2 ,今以长为 4的线段AB两端A、B分别在a、b上运动 ,试求AB中点P的轨迹 .解 如图 1(甲 ) ,作EF的中垂面α ,设α交EF于O ,易知P∈α且易得AB在α内的射影|CD|=2 3 ,∠COD =60° ,在α内以O为原点 ,∠COD的平分线为x轴建立平面直角坐标系 (如图 1(乙 ) ) .         图 1设|OC| =2t1 , |OD| =2t2 ,∴ C( 3t1 ,t1 ) ,D( 3t2 ,-t2 ) .由中点坐标公式得P(x ,y)的参数方程x =32 (t1 +t2 )y =12 (t1 -t2 )则  t1 =x3 +yt2 =x3 -y( 1)又 由|CD| =2 3有   t21 -t1 t2 +t22 =3 . ( 2 )将 ( 1)代入 ( 2 )式并整理得P点轨迹的普通方程...
  • 新题征展(9) 免费阅读 下载全文
  • A .题组新编1.已知函数 y =3x2 - ( 2m + 6 )x +m + 3,( 1)若其值域为R+ ,则实数m的取值范围是(   ) ;( 2 )若其值域为R- ,则实数m的取值范围是(   ) ;( 3)取值恒为非负数 ,则实数m的取值范围是(   ) .备选答案 :(A) {- 3,0 }  (B) [- 3,0 ](C) ( - 3,0 )  (D) (赵春祥供题 )2 .( 1)已知抛物线 y2 =2x ,定点A( 3,2 ) ,P点在抛物线上移动 ,则|PF| + |PA|的最小值为   ;( 2 )已知椭圆 x22 5+ y216 =1的右焦点为F ,定点A( 3,2 ) ,P点在椭圆上移动 ,则|PA|+ 53|PF|的最小值为   ;( 3)已知双曲线 x29- y216 =1的右焦点为F ,定点A( 6 ,2 ) ,点P在双曲线上移动 ,要使|PA|+ 35|PF|有最小值 ,则P点的坐标为   .(袁保金供题 )3.从 1,2 ,3,4 ,5,6 ,7,8,9这九个数中任取五个组成无重复数字的五位数 ,其中 :( 1)奇数位必须是奇数的五位数个数为   ;( 2 )奇数位上有奇...
  • 把握问题本质 优化解题方法 免费阅读 下载全文
  • 数学问题的形式千姿百态 ,我们对问题结构特征的审视角度不同 ,解题策略也就不同 .只有把握问题的本质属性、创造性思维 ,灵活运用概念、性质、法则、定理、公式及有关数学思想 ,才能从各种解法中挑选出最佳解法 ,达到优化解题、提高学生数学素质的目的 .1 反函数性质例 1 设ab ≠ 0 ,1a + 1b ≠ab ,解方程组xa + yb =1+abx ,xb + ya =1+aby .分析 如果用二元一次方程组的一般解法 ,那么计算量较大 .但注意到两个方程可化为互为反函数的一次函数 ,故依反函数性质可快速、准确获得解答 .解 原方程组变形为  y=b(ab - 1a)x+b ,x =b(ab - 1a) y +b .①②又由题设知 1b ≠ab- 1a .故直线①与直线y =x不平行 ,必相交 ,且函数①与函数②互为反函数 .因此方程组   y =b(ab- 1a)x+by =x的解y=x =aba+b -a2 b2 就是原方程组的解 .2 沟通关系式例 2 已知a、b、c是实数 ,函数 f(x) =ax2 +bx+c ,g(x) =ax +b ,当 - 1≤x≤ 1时 ,| f(x)|≤1,求证 :当 - ...
  • 凸函数的一个性质 免费阅读 下载全文
  • 文 [1]通过引入参数证明了如下三个不等式 :( 1)已知正数a、b、c满足a +b +c =3,则4a+ 1+ 4b+ 1+ 4c+ 1>2 + 13.( 2 )在△ABC中 ,tg A2 tg B2 + 5+tg B2 tg C2 + 5+  tg C2 tg A2 + 5>6 + 2 5.( 3)已知正数a、b、c满足a +b+c =2 ,则3 7a + 1+ 3 7b + 1+ 3 7c + 1>2 + 3 15.本文将 ( 1)、( 2 )、( 3)统一推广 ,得到凸函数的一个有趣性质 .首先引入凸函数的概念 .定义[2 ]  设函数y=f(x)在 [a ,+∞ )上有定义 ,对任意x1 、x2 ∈ [a ,+∞ ) ,x1 <x2 ,若其图象上任两点P(x1 ,f(x1 ) )、Q(x2 ,f(x2 ) )之间的弧段PQ总位于线段PQ的上方 ,即对任意x ∈ (x1 ,x2 ) ,下面 ( )式成立 .  f(x) >x2 -xx2 -x1 f(x1 ) + x-x1 x2 -x1 f(x2 ) ,( )则称函数 f(x)在 [a ,+∞ )上是上凸函数 ,若弧段PQ总位于线段PQ的下方 ,即...
  • CAI技术在解析几何教学中的应用 免费阅读 下载全文
  • 应用CAI技术改善和提高教学效果是当前教学改革的一个方向 ,一方面它提供外部刺激的多样性有利于知识的获取 ,另一方面人机对话有利于激发学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥 .但人们往往首先考虑的是如何进行多种信息媒体搜寻、截取、混合 ,把计算机当作电子黑板来使用 ,或只注重以人机对话而完全取代人际交流活动 ,使CAI技术的应用步入误区 .行之有效的方式应是针对教学目标和教学对象的特点 ,合理地选取与设计教学内容与CAI信息媒体并进行有机结合 ,从而优化教学结构 ,提高教学效果和效率 .选择的原则为 :课堂难以讲清的抽象理论或过程 ,利用计算机的图形和动画功能进行模拟 ,使之形象化、具体化 ,计算机能够发挥其优势的那些内容 .程序的设计突出教学的着力点 ,构思设计过程实际上是一种创意的过程 ,创意的好坏完全取决于设计者对教学内容的深刻理解及对学生认知结构的有意义探索 ,当然也取决于软件的性能 .高中解析几何是综合运用代数和几何知识的一门综合性的学科 ,其特点之一是数和形的紧密结合 ,即利用方程的性质来研究相应的几何图形的特点 ,使几何图形及其研究实现了“代数法” .反之 ,如果给代数问题以几何解释 ,那么可以理解...
  • 对一条考试要求的理解 免费阅读 下载全文
  • 在 1999年全国高考数学 (理科 )考试说明中 ,对“两角和与差的三角函数”部分有这样一条 (即第三条 )要求 :“了解三角函数的积化和差与和差化积公式 ,不要求记忆 .”这是自制定考试说明以来 ,首次降低对和积互化公式的记忆要求及能力层次要求 .笔者通过对近几年的高考理科试题的归类分析及教学实践的体会 ,发现这条要求有它内在的一些理由 :1.积化和差与和差化积公式个数较多 ,结构较复杂 ,利用率不高 ,难以记牢 .2 .使用这些公式的过程除变形使用外 ,对能力的培养作用不大 .因绝大部分需用和积互化公式特别是积化和差的问题都可直接套用公式 ,少数需变形用公式的问题又难以与三角以外的知识自然联系 .3 .近几年题设或解题过程中可用积化和差或和差化积公式解决的高考试题 ,也可不用这两组公式解决 ,而且不用可能更简捷 .特别是 1999年 ,虽然在卷首列出了公式 ,可在试题的条件和解答过程中都难以用上所给公式 .4.不要求记忆并非可以不理解 .因为一方面可在处理三角问题时多一条途径以便培养思维的开阔性 ,另一方面用和积互化公式可使某些问题直接得到较简单的解答 .简言之 ,通过降低对记忆能力的要求 ,加深了对运算...
  • 谈高水平数学教师的培养 免费阅读 下载全文
  • 笔者曾从数学教育的专业化[1 ] 这一角度对数学教师的培训问题提出了一些看法 ,主要包括 :第一 ,我们应对“数学教师的专业知识”作出具体界定 ;第二 ,创造性应被看成教师专业化的一个重要内涵 ,也正是从这样的角度去分析 ,与专业知识相比 ,教师的“教学能力”应被认为是更为重要的 ;第三 ,在教师的培训中我们应当改变“传授式”的传统作法 ,而采取建构主义的立场 .以下再针对高水平数学教师 (包括硕士研究生和骨干教师等 )的培养 ,就一些相关的问题作出进一步的论述和必要的补充 .第一 ,前文已经提及 ,“就数学教师的专业知识而言 ,适当的‘广度’与‘深度’(特别是数学知识上的深度 )相比在一定程度上是更为重要的 .这就是说 ,为了搞好数学教学 ,数学教师应当具有广泛的知识背景 ,包括教育学、心理学、社会学、语言学、人类文化学、哲学等 .”在此要补充的是 ,为了不断提高数学教师的业务水准 ,我们并应十分注意知识的更新 .事实是 ,如果就现实的情况进行分析 ,容易发现 ,数学教师对于数学知识的更新通常是较为注意的 ;但是 ,教师们又是否真正了解数学教育理论研究方面的最新进展呢 ?作一个简单的“测试” ,读者不妨认真...
  • 构造几何模型证明两个三角不等式 免费阅读 下载全文
  • 题 1 若α、β、γ均为锐角 ,且满足cos2 α+cos2 β +cos2 γ=1.求证 :ctg2 α +ctg2 β+ctg2 γ≥ 32 .证明 如图 1,设以a、b、c为三度的长方体ABCD A1 B1 C1 D1 的对角线AC1 与三条棱AD、AB、AA1 所成角分别为α、β、γ ,则  ctgα=ADDC1=ab2 +c2 ,ctgβ=ABBC1 =ba2 +c2 ,  ctgγ=AA1 A1 C1=ca2 +b2 ,∴ ctg2 α +ctg2 β+ctg2 γ  =a2b2 +c2 +b2a2 +c2 +c2a2 +b2  =a2 +b2 +c2b2 +c2 +a2 +b2 +c2a2 +c2 +a2 +b2 +c2a2 +b2 -3  =(a2 +b2 +c2 ) ( 1b2 +c2 +1a2 +c2 +1a2 +b2 ) -3  =12 [(b2 +c2 ) +(a2 +c2 ) +(a2 +b2 ) ]·( 1b2 +c2 +1a2 +c2 +1a2 +b2 ) -3 ≥ 12 [(b2 +c2 )· 1b2 +c2 +(a2 +c2 )· 1a2 +c2 +(a2 +b2 )· 1a...
  • 一个猜想不等式的证明 免费阅读 下载全文
  • 设△ABC的三边为a、b、c,相应边上的旁切圆半径为ra、rb、rc,文 [1]证明了   ∑(rb +rc) 2 ≥ 34∑(b +c) 2 ( 1)并提出关于指数推广的猜想 :  ∑(rb+rc) k ≥ ( 32 ) k∑(b+c) k ( 2 )其中k >0 ,∑ 表示对a、b、c轮换求和 .本文证明猜想不等式 ( 2 )成立 .引理  ∑ rb+rcb +c ≥ 332 ( 3)证明 由公式ra =rss -a(r、s分别是△ABC的内切圆半径和半周长 )易证ra(rb +rc) =as ,于是 rb+rc =asra=a(s-a)r =actg A2 ( 4)所以 ,( 3)式等价于刘健证得的不等式[2 ] :   ∑ ab +cctg A2 ≥ 332 ( 5)因此 ,引理得证 .不等式 ( 2 )的证明如下 :(i)当 0 <k<1时由 ( 4)式及熟知不等式 :s ≤ 332 R (R是△ABC的外接圆半径 ) ,知  (rb+rc) (rc+ra) (ra+rb)=abc(s -a) (s-b) (s -c)r3=4Rs2 ≥ ( 23s) 3,于是 ∑(rb +rc) k ≥ 3[(rb...
  • 合理设计思维跨度 培养学生思维能力 免费阅读 下载全文
  • 最近听了一节课 ,课题是“一元一次方程的应用 (工程问题 )” ,教师课前布置了预习作业 ,这个预习作业将课本中的一道例题进行了很细的分解 ,给出的填空档有 15个之多 .课上分析时又一一提问 ,对每个问题 ,学生们都齐刷刷地举手 ,准确地回答 .表面上看 ,教师给学生提出了不少的问题 ,激发了学生的思维 ,实际上由于问题太多、太细 ,思维跨度太小 ,根本没有给学生留下思维的空间 (一问即答的问题是没有价值的 ) .这牵涉到教学过程中一个十分重要的问题 :如何合理地设计思维跨度 ,以激发学生积极的思维 ,从而达到培养思维能力的目的 ?以下是我们的几点认识 .1 影响思维跨度的因素1.1 知识的抽象程度如一下子给出数列极限的“ε—N”定义 ,学生无论如何是无法理解的 ,而对“角的概念的推广” ,教师只要用“一只表快了五分钟 ,现要校正 ,分钟转了多少度 ?一只表慢了五分钟 ,现要校正 ,分钟转了多少度 ?两者有何区别 ?”就可以引入正负角的概念 ,学生理解也很透彻 .原因就在于前者太抽象 ,而后者形象直观 .1.2 所用方法的熟悉程度由于推导“cos(α+β) =cosαcos β-sinαsin β” 所用的...
  • 103 反函数 免费阅读 下载全文
  • 1 复习旧知 ,为“扩展建构”提供支撑点提问 函数中对应的类型 .试分析下列函数是什么类型的对应 ?① y =2x+1;② y =x2 ;③ y =x2 (x ≥0 ) .板书对应的框图 :对应法则 一对一   多对一是否映射  是     是    图 1还有一种对应 ,如图 2 ,是一对多 ,就不是映射了 .函数 :Ⅰ是映射 ,ⅡA、B是非空数集 .函数三要素 :定义域、值域、对应法则 .图 22 把对应“逆过来”如何———一种扩展数学研究中 ,经常是 ,研究了原问题后 ,就会开始考虑它的逆问题 (这也是对原问题的深化的理解 ) .问 :把一个对应逆过来 (说明“逆过来”的意思 )后 ,对应的状况是怎样的呢 ?对应的法则又可用什么式子来表达呢 ?板书逆对应的框图 (图 3 ) :引导学生观察板书中的逆对应 ,讨论三个题目 :( 1)逆对应分别是什么类型的对应 ?( 2 )把 y看成自变量 ,分别考察它们还是一个函数吗 ?( 3 )如果是函数 ,它们的定义域是什么 ?学生发现 :“一对一”对应的逆对应 ,仍是“一对一”对应 ;“多对一”对应的逆对应 ,成为“一对多”对应了 .说明 ,只有前者 ,对于y在值域...
  • 初中数学教学新一轮改革的若干特点 免费阅读 下载全文
  • 《国家数学课程标准 (义务教育阶段 )》(征求意见稿 )已于 2 0 0 0年 3月颁布[1 ] ,《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》(修订稿 ) [2 ] 已经完成 ,即将颁布 ,相应的教材调整和修改也已紧锣密鼓或接近尾声 .在这万物逢春的时节 ,春的气息让人陶醉 ,更催人奋进 .以学生发展为本的新理念正渗透到初中数学教育教学改革的每个角落 ,以创新意识和实践能力的培养为重点和突破口的课程、教材改革和教学改革正把素质教育逐步引入初中数学教育的实质性环节 .与以往相比 ,新一轮初中数学教学改革呈现出如下鲜明特点 :1 确立以学生发展为本的教育理念在教育教学改革中 ,配合教育观念的转变 ,教学手段、教学方法等也将作系列配套改革 ;在日常教学中 ,将强化数学背景材料的介绍和数学活动的开展 ,激发学生对数学的求知欲 ,真正落实发现、提出、分析、解决问题能力的培养 ,注重形成学生的创新意识和用数学的意识 .同时 ,将通过灵活多样的评估手段 ,促进学生实践能力和创新意识的发展 .2 注重从学生已有的知识和生活经验中学习数学、理解数学 ,强化数学知识和方法的应用 ,真正培养学生的数学应用意识现实的、有趣的、富有挑...
  • 关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探 免费阅读 下载全文
  • 直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ax2 +Cy2 +Dx+Ey +F=0的弦P1 P2 的中点为P(x0 ,y0 ) ,其斜率存在 ,设为k ,且k ≠ 0 .其中P1 (x1 ,y1 )、P2 (x2 ,y2 ) ,则有Ax21 +Cy21 +Dx1 +Ey1 +F =0 ,Ax22 +Cy22 +Dx2 +Ey2 +F =0 ,两式相减并同除以 (x1 -x2 ) ,考虑到x1 +x2 =2x0 ,y1 +y2 =2 y0 ,得  Ax0 +Cky0 +D2 +Ek2 =0 .仿此可得 :定理 1 椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >0 ,b>0 )的弦P1 P2 的中点为P(x ,y) ,其斜率k存在且不为零 ,则   yx ·k =-b2a2 .定理 2 双曲线 x2a2 -y2b2 =1(a>0 ,b >0 )的弦P1 P2 的中点为P(x...
  • 一道竞赛题的三角简证及空间推广 免费阅读 下载全文
  • 1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ABCD中 ,对角线AC平分∠BAD ,在CD上取一点E ,BE与AC交于F ,延长DF交BC于G .求证 :∠GAC =∠EAC .证明 如图 1,连接BD交AC于O点 ,在△BCD中运用塞瓦定理BGGC·CEED·DOOB =1,∴ OBDO =BGGC·CEED.又∵ AO是△ABD中∠A的平分线 ,∴  ABAD =BODO =BGGC·CEED.图 1         图 2设∠GAC =α ,∠EAC =β ,则∠BAG =A2 -α ,∠DAE =A2 -β ,由相似三角形比的性质有   BGGC =ABsin( A2 -α)ACsinα ,   CEED =AC·sinβADsin( A2 -β),代入上式得到sin( A2 -α) ·sinβ=sinα·sin( A2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得sin(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴ α=β ,即是 ∠GAC =∠EAC .它的空间形式如图 2 :在四面体ABCD中 ,∠BAC =∠DAC ,AO是△ABD中∠A的平分线 ,E是CD边上任一点 ,连结BE交...
  • 运用“四化”策略 化解思维障碍 免费阅读 下载全文
  • 众所周知 ,解题过程是一个思维过程 ,要求思维一定成功、思路畅通无阻是不现实的 .我们的问题是 :当思维出现障碍 ,解题思路发生中断时 ,如何正确有效地去化解这个思维障碍 ,及时迅速地找到延续解题过程的出路 ,创造出柳暗花明的奇迹呢 ?解题实践表明 ,“陌生问题熟悉化、一般问题特殊化、复杂问题简单化、抽象问题具体化”的“四化”策略 ,常常是十分奏效的 .1 陌生问题熟悉化在遇到情景陌生的新问题 ,当你感到一筹莫展时 ,不妨选择一个与之类似的熟悉的问题 ,将它与新问题相比较 ,设法寻找出两者之间的联系和相似之处 ,从熟悉问题的方法和结论 ,去探求解决新问题的思路 .例 1 已知y =(log2 x - 1)log2 ab - 6log2 xlogab +log2 x + 1(a >0且a ≠ 1为常数 ) .当x在区间 [1,2 ]内任意取值时 ,y的值恒为正 ,求b的取值范围 .分析 本题的情景陌生 ,变元繁多 ,条件与结论间的关系错综复杂 ,乍一看 ,很难下手 ,许多学生只能望题兴叹 .如果令log2 x =t ,当x ∈ [1,2 ]时 ,有t∈ [0 ,1] ,则原函数式即为y =(log2 ab- 6...
  • 蚂蚁、通道与数学建模 免费阅读 下载全文
  • 数学建模过程含有几个步骤 :先承认一种情境 ,作一些假设 ,把这些假设转为数学论述 ,再解决数学问题 ,最后根据情境解释这些结果 .本文讨论一个昆虫学中情境的数学建模实例 .通过它可以阐明实际中导数的应用 ,使学生了解并参与数学建模的过程 ,让学生知道数学可以应用于许多有趣的领域 .1 问题的提出一只蚂蚁建立一个通道用多长时间 ?我们通过向学生提问 ,就这个问题展开讨论 .他们要时刻注意 :通道有多长 ?它们在何种材料中挖掘 ?仅一只蚂蚁 ,还是一群蚂蚁 ?通道是什么形状 ,弯曲的、向上的、向下的、还是直的 ?通道有多大 ?你知道它的圆周是 2cm、1cm ,还是通道小的只够蚂蚁通过 ?蚂蚁为什么建立通道 ?我们能否在蚂蚁村观察到这样一个通道 ?当然 ,这些问题 ,我们有的考虑 ,有的不得不舍弃 ,因为鼓励学生去努力做是我们的工作重心 .学生的假设 ,有些要精确 ,有些可以近似 ,我们希望学生通过实践 ,了解并参与数学建模过程 ,达到解决问题的目的 .2 蚂蚁建立通道的模型在我们的问题、经验和对蚂蚁的观察中 ,我们只注意情境的简单情况而不是复杂情况 ,我们考虑下面五个假设 :①蚂蚁将建立一个平直的通道 ;②蚂...
  • 巧化齐次式妙证不等式 免费阅读 下载全文
  • 若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,a2 +b2 ≥2ab ,是齐二次不等式 ,a +b+c3 ≥ 3 abc是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1 已知a、b、c∈R ,且a+b +c=1.求证 :ab +bc+ca≤ 13 .分析 所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知 a +b+c =1,∴    (a+b+c) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ab +bc+ca≤ 13 (a +b+c) 2 ,即 a2 +b2 +c2 ≥ab +bc+ca .而 左边 -右边= 12 [(a-b) 2 +(b -c) 2 +(c -a) 2 ] ≥ 0 ,∴ 原不等式成立 .例 2 已知 p3 +q3 =2 .求证 :p+q≤ 2 .分析 所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (p+q) 3 ≤ 8,∵ p3 +q3 =2 , ∴  8=4( p3 +q...
  • 一个简便的锐角判别法——第39届国际数学竞赛一道几何题的简证 免费阅读 下载全文
  • 1 一个直角判别法在Rt△ABC中 ,若AD是斜边BC上的高 ,如图 1,则AD2 =BD·DC .这是直角三角形中我们熟知的一个基本定图 1理 ,也是比例中项作图的依据 .只要肯定垂足在边BC之内 ,其逆命题亦真 ,即有若△ABC中BC边上的高AD位于△ABC内 ,则∠A =90°   AD2 =BD·DC ( 1)利用相似形不难证明 .故略之 .2 锐角、钝角判别法上述直角判别法 ,不难推广到锐角、钝角的情形 .即有设AD是△ABC的高 ,且垂足D在BC边上 (包括端点 ) ,则有∠A <90°   AD2 >BD·DC ( 2 )∠A >90°   AD2 <BD·DC ( 3 )与以BC为斜边的Rt△A′BC相比较 (如图 2 ,图 3 ) ,也极易证之 .故不赘述 .图 2         图 33 一道赛题 ,原法简介图 4设I是△ABC的内心 ,K、L、M分别为△ABC的内切圆在边BC、CA、AB上的切点 ,已知通过点B且与MK平行的直线分别与直线LM及LK交于R及S .求证 :∠RIS是一锐角 .这是第 3 9届国际数学奥林匹克竞赛中的第 5题 .文 [1]编译的参考答案较繁 .基本过程...
  • 102 任意角的三角函数 免费阅读 下载全文
  • 主持人按 许多重要的数学概念 ,如各种数、指数、函数、坐标的概念 ,以及距离、角等几何概念 ,都是在不断的扩展过程中 ,一个个地建构起来的 .知识结构建构的过程 ,总是要依赖于学生已有的认知结构的 .在扩展建构的情形 ,或是表现在调节原概念的原有定义 ,使它的本质能显露得更加清楚 ,从而能顺利地扩展到更一般的情形中去 ,如三角函数概念的扩展 ;或是表现在适当限制新概念的定义范围 ,暂时只讨论比较适于学习与研究的一些情况 ,如反函数概念的引入 .这也就是皮亚杰所说的同化与调节的过程 .这是着眼于提高学生的整体素质的学习 ,学一个新概念 ,不只是为了记忆与应付考试 ,而且也理解与弄清了几个“为什么” !1 能扩展到更一般的情形么 ?T :在初中我们已学习过锐角三角函数的定义 ,即 (由学生说 ,教师板书 ) :如图 1,设Rt△ABC的三边分别为a、b、c ,则有图 1sinA =ac =对边斜边 ,cosA =bc =邻边斜边 ,tgA =ab =对边邻边 ,ctgA =ba =邻边对边 .现在 ,角的概念业已推广到了任意角 ,那么 ,三角函数的概念也能扩展到更一般的情形 ,即成为任意角的三角函数么 ?根据我们...
  • 研究新教材 把握渗透二次函数的契机 免费阅读 下载全文
  • 在初中数学中二次函数在难度上有明显降低 ,而在 2 0 0 0年全国通用的高一新教材中也无章节专门研究二次函数 ,且高考数学科《考试说明》对二次函数只字未提 ,但二次函数却是高考的热点 ,其中 1993年 (理 )第 2 9题 ,1996年 (理 )第 2 5题 ,1997年 (理 )第 2 5题都是以把关题出现 .这就使我们在教学中对二次函数有关知识的扩展应引起足够的重视 ,因为这种扩展正是在“知识网络的交汇点” .那么 ,如何扩展与二次函数有关的知识 ,笔者认为利用假期上课与减轻学生负担相悖 ,而且二次函数被一次性拔得太高 ,学生接受起来也十分困难 .最好的方法是随着高一数学知识的增多 ,见缝插针、渐进、适度地扩展二次函数的相关知识 ,使之逐步达到高考的要求 ,也就是在研究 2 0 0 0年高一新教材时应把握好渗透二次函数的契机 .这对提高学生的数学素质 ,培养创新能力大有好处 .1 在研究一元二次不等式的解时渗透二次函数例 1 选择题( 1)若关于x的不等式x2 +ax +1≥ 0对一切实数x均成立 ,则实数a的取值范围是(B) .  (A)a≥ 2或a ≤ -2  (B) -2≤a ≤ 2  (C)a...
  • “新时期素质教育的理论与实践”征文启事 免费阅读 下载全文
  • “国运兴衰 ,系于教育” .为全面贯彻落实第三次全国教育工作会议精神和深化教育改革 ,推进素质教育 ,从理论和实践上全面探讨面向新世纪的素质教育 ,总结素质教育的成果经验 ,为广大中学教师、教育管理工作者提供探索的阵地、展现成果的舞台 ,我们决定举办“新时期素质教育的理论与实践”征文活动 .一、征文对象全国各级各类中小学语文教师、教研员、班主任、教育管理干部 .二、征文内容1.实施素质教育过程中的新经验、新思路、新做法 ;2 .有关素质教育的体会、成果及理论思考 ;3.新形势下实施素质教育的主要方向目标、发展趋势、内容及对策等 ;4 .创新教育探索 ,创新教育与素质教育的关系 ;5.学校管理、班主任工作与素质教育 ;6 .新大纲、新教材研讨 .三、征稿要求作者可围绕素质教育这一主题 ,从实际出发 ,自选角度撰文 ;文章要有新意、有深度 ;题目自拟 ;来稿要求字数在 30 0 0字以内 ,并附 30 0字以内作者简介 .在题头注明作者姓名、单位、年龄、职务、详细通讯地址及联系电话 .四、评奖及出版征文活动结束 ,将邀请著名专家、学者担任评委 ,对应征作品进行评选 .评选一、二、三等奖及优秀奖和组织奖 .2 0 ...
  • 要看透题目的本质结构 免费阅读 下载全文
  • 文 [1]、[2 ]谈到了下面一道不等式题的“分析”与“简捷证明” ,但对题目本质结构的揭示还不够深刻 .我们想从新的角度作出新的分析 ,并立即加以推广 .题目 已知二次函数 f(x) =ax2 +bx+c ,当 -1≤x≤ 1时 ,有 -1≤f(x) ≤ 1.求证 :当 -2≤x≤ 2时 ,有 -7≤ f(x)≤ 7.分析  (差异分析法 )已知条件给出 |x|≤ 1时f(x)的范围 ,所求结论要得到 |x|≤ 2时f(x)的范围 ,为了消除这两者的差异 ,只须寻找f( 2x)与 f(x)、f( -x)之间的关系 . f( 2x) =F( f(x) ,f( -x) ) . ①由于 f( 2x)与f(x)、f( -x)都是二次三项式 ,所以我们引进 3个待定系数来寻出①式 ,设 f( 2x) =k1 f(x) +k2 f( -x) +k3f( 0 ) ,得方程组 k1 +k2 =4,k1 -k2 =2 ,k1 +k2 +k3=1,解出 k1 =3 ,k2 =1,k3=-3 .有 f( 2x) =3f(x) +f( -x) -3 f( 0 ) . ②由此 ,立即得出证明如下 :证明 任取x ∈ [-2 ,2 ]...
  • 圆锥曲线内接顶点直角三角形的一个性质 免费阅读 下载全文
  • 现行高三数学复习资料都有这样一道题 :A、B是抛物线y2 =2 px (p >0 )上的两点 ,满足OA⊥OB (O为坐标原点 ) .求证 :直线AB经过一个定点 .笔者发现该命题可推广如下 :命题 直角顶点在圆锥曲线顶点且内接于圆锥曲线的直角三角形的斜边恒过定点 .下面就椭圆x2a2 +y2b2 =1(a>b >0 ) ,图 1且直角顶点在A( -a ,0 ) 的情形给出证明 .证明 如图 1,设直线AB :  y=k(x +a) ,则直线  AC =-1k(x +a) ,两方程联立求解 y =k(x +a) ,x2a2 +y2b2 =1,得  (x+a) [b2 (x-a) +a2 k2 (x+a) ] =0 ,∴ 可得点B( ab2 -k2 a3a2 k2 +b2 ,2ab2 ka2 k2 +b2 ) ,同理 点C( ab2 k2 -a3a2 +k2 b2 ,-2ab2 ka2 +k2 b2 ) .由对称性知若存在这样的点 ,则必为BC与x轴的交点 ,设为M ,令k =1得xM =xB =xC =a(b2 -a2 )a2 +b2 .故只需证明B、C、M三点共线 ,而这是不难证明的 .从而 BC经过定点M...
  • 一则新闻中的数学问题 免费阅读 下载全文
  • 1 问题的提出1999年 10月 5日的《华声报》刊有这样一则新闻 :中国运载火箭技术研究院副院长龙乐豪透露 ,中国政府计划在海南岛东部建立一个太空城 ,集卫星发射和旅游观光于一体 ,估计首期涉及 10亿至 2 0亿人民币 .他认为 ,在海南省建太空城有多个好处 .海南的地理纬度低 ,火箭可以充分利用地球自转的力量升空 .如同一火箭在海南基地发射其运载能力会比在西昌发射大 6 % ~ 7% ,相对于酒泉更会大 11%~12 % .……此则新闻中提到“如同一火箭在海南基地发射其运载能力会比在西昌发射大 6 %~ 7% ,相对于酒泉更会大 11%~ 12 % .”这是为什么呢 ?2 数学模型的建立要用数学方法解决这一问题 ,需要建立对应的数学模型 .第一步先要算出地球上不同纬度在地球自转时产生的线速度vi.第二步把火箭的发射看成以初速vi 的匀加速运动 ,当末速v =7.9km/s(第一宇宙速度 )时 ,计算火箭所需的能量Ei.①设地球上一点Ai的纬度为θi,地球在自转时产生的线速度为vi.Ai 点的纬度周长为ci =2πr =2πR·cosθi,由于地球公转一周需 2 4小时 ,所以vi =ci2 4× 6 0...
  • 谈数学阅读题的释析与备考 免费阅读 下载全文
  • [复习说明 ]高考中的阅读题从对数学概念、性质和对数学知识的深层次理解出发 ,结合了考查学生的阅读理解和用数学语言表达数学对象的能力 ,以及逻辑思维能力 .是近年来高考中的一类新型“热点”题型 .因此 ,本专题对此类题目进行梳理 .分层次介绍此类题目之解法 .本专题的重点是对数学问题的感知、识别、理解 ,难点是对表达对象的抽象、概括、记忆以及激活背景材料 .选择应用准确的数学语言科学地表达数学对象的本意 .[内容提要 ]解答阅读题应注意的几个问题 :1.注意在较短的时间内 ,通过阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括 ,用归纳、演绎、类比等推理方法 ,准确地阐述自己的思想和观点 .2 .注意挖掘题目中的隐含条件 ,使解题方法简捷、准确 .3.注意在解题过程中培养感知能力、识别能力、信息加工能力、想象能力以及对字母、符号、表达形式的记忆和理解能力 .[范例精讲 ]1.考查代数知识的概念与性质解此类题目应注意对数学符号、字母、表达形式的理解和对数学图形、概念理解与分析 ,从而用准确的数学语言表达结果 .例 1 如果函数f(x) =x2 +bx+c对任意实数都有f( 2 +t) =f( 2 -t) ,那么 (  ...
  • “三角债”问题的图论模型 免费阅读 下载全文
  • “三角债”是一种经济现象 ,它往往困扰着当事企业 ,使之一筹莫展 .本文提供清理三角债问题的一个数学模型 ,由于其结果的合理性和操作的简单性 ,因而具有可行性 ,可供有关部门在宏观调控中加以应用 .1 三角债问题的基本特征及处理原则如称欠债企业为“债户” ,被欠企业为“债主”(合称为债务关系的“当事人”) ,那么“三角债”问题的基本特征就是 :大多数的当事人既是债户 ,又是债主 ,既欠别人的 ,也被别人拖欠 ,形成复杂的债务关系 .一个实例 :当事人A1 ,… ,A8间的债务关系 ,如表 1所示 : 表 1(单位 :万元 ) 债主债户 A1 A2 A3 A4A5 A6A7A8欠债总额biA1 54 .53 12 .5A2 4 4A3 47 2 13A44 2 6A5 66A62 68A74 48A82 13被欠总额 87813 .57890 60 .5以xij 表示Ai 欠Aj金额 ,则aj=∑ixij为Aj 被欠总额 ,bi =∑jxij 为Ai 欠债总额 ,那么有 ∑jaj =∑ibi 且Z =∑jaj =∑j ∑ixij就是当事人A1 ,… ,A8间的债务总额 ,是表征债务关系复杂程度的基本指标 ,对本...
  • 谈课堂教学中的创新教育 免费阅读 下载全文
  • 素质教育的核心就是创新教育 ,这已成为全社会的共识 .然而如何培养学生的创新意识、创新精神和创新能力 ,却是一项复杂的工程 ,也是当前学校教育的根本任务 .如何在课堂教学中实施创新教育 ,构建创新的教学方法呢 ?笔者根据自己的尝试提出如下的思路和看法 .1 利用多种形式 ,不失时机地介绍历代数(科 )学家为数学 (科学 )的发展 ,创建知识体系 ,发现定理公式的故事 ,激起学生的创新欲望 ,培养学生的创新意识教学的每一个分支、知识体系、定理、公式、方法 ,无一不是前辈数学家们进行创造性思维得出的 .特别是那些以数学家的名字命名的定理、公式 .在将这些定理、公式的产生过程展示给学生的同时 ,介绍他们创造知识体系的方法 ,对数学发展的贡献 ,以及世人对他们的敬仰和永久的纪念 .如在开始讲解解析几何时 ,先让学生回忆初中解答平面几何问题时的困难 ,从而引入笛卡儿创设解析几何的传说 :笛卡儿躺在床上 ,注视着墙角上的一只蜘蛛在网上沿“纵横”两线爬行时 ,到达某一预定的点 .由此产生了“坐标几何”的思想 ,这一创造为数学将几何问题代数化开拓了广阔的前景 .在讲解数的扩展时 ,介绍无理数的发现者、虚数的创设者们可歌可泣的...
  • 缩小参数范围 减少分类次数 免费阅读 下载全文
  • 最近我做了这样一道题 :例 1 f(x) =loga[( 1a - 2 )x+ 1]在区间[1,2 ]上恒为正 ,求实数a的取值范围 .由于本题中真数含有变量 ,因此要对参数进行多次分类讨论 :(Ⅰ ) 0 <a <1时 ,设t(x) =( 1a - 2 )x + 1.( 1) 0 <a<12 ,t(x)、f(x)在 [1,2 ]上分别单调递增和递减 ,∴ t( 1) =( 1a - 2 ) × 1+ 1>0f( 1) =loga[( 1a - 2 )× 1+ 1] >0     a>12 .此时无解 .( 2 )a =12 时 ,f(x) =0 ,也不合题意 .( 3) 12 <a <1时 ,t(x)、f(x)在 [1,2 ]上分别单调递减和递增 ,∴ t( 2 ) =( 1a - 2 ) × 2 + 1>0f( 1) =loga[( 1a - 2 ) × 1+ 1] >0      0 <a <23,∴     12 <a <23.(Ⅱ )a >1时 ,t(x)、f(x)在区间 [1,2 ]上分别单调递减和递增 ,∴ t( 2 ) =( 1a - 2 )× 2 + 1>0 ,f( 1) =loga[( 1...
  • 一个几何恒等式的推广及其应用 免费阅读 下载全文
  • 关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1 设△ABC的三边a、b、c上的高分别为ha、hb、hc,P为△ABC内部的任意一点 ,过P向三边作垂线段PD =ra,PE=rb,PF =rc,若设△ABC、△DEF的面积为△与△′ ,则有  4△△′ =rarbhahb+rbrchbhc+rcrahcha. ( 1)证明 如图 1,因为PD⊥BC ,PE ⊥CA ,PF ⊥AB ,故 ∠A +∠EPF =π ,∠B +∠FPD =π ,∠C +∠DPE =π .由三角形的面积公式可得 △′ =S△EPF +S△FPD +S△DPE= 12 rbrcsin∠EPF+ 12 rcrasin∠FPD+12 rarbsin∠DPE= 12 rbrcsinA + 12 rcrasinB+ 12 rarbsinC=rbrc· △bc+rcra· △ca+rarb· △ab=rbrc· △hbhcbhb·chc+rcra· △hchachc·aha+rarb· △hahbaha·bhb=rbrc· hbhc4△ +rcra· hcha4△ +rarb· hahb4△ .即  4△...
  • “立体几何”与“解析几何”综合题举隅(廖华林)
    新题征展(9)(赵春祥[1] 袁保金[2])
    把握问题本质 优化解题方法(胡绍培)
    凸函数的一个性质(金楚华)
    CAI技术在解析几何教学中的应用(虞涛)
    对一条考试要求的理解(黄道军)
    谈高水平数学教师的培养(郑毓信)
    构造几何模型证明两个三角不等式(李来敏)
    一个猜想不等式的证明(程媝驰[1] 吴跃生[2])
    合理设计思维跨度 培养学生思维能力(石志群)
    103 反函数(胡默耕[1] 丁立群[2])
    初中数学教学新一轮改革的若干特点(孔凡哲)
    关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探(林丽娟 杨万江)
    一道竞赛题的三角简证及空间推广(魏爱卿)
    运用“四化”策略 化解思维障碍(戴翰林 钱军先)
    蚂蚁、通道与数学建模(王艳明)
    巧化齐次式妙证不等式(聂维新)
    一个简便的锐角判别法——第39届国际数学竞赛一道几何题的简证(李长明)
    102 任意角的三角函数(龚慧)
    研究新教材 把握渗透二次函数的契机(王立芳)
    “新时期素质教育的理论与实践”征文启事
    要看透题目的本质结构(惠州人)
    圆锥曲线内接顶点直角三角形的一个性质(茹双林)
    一则新闻中的数学问题(党效文)
    谈数学阅读题的释析与备考(屠新民)
    “三角债”问题的图论模型(杨之)
    谈课堂教学中的创新教育(高飞)
    缩小参数范围 减少分类次数(程蛟 邹楼海)
    一个几何恒等式的推广及其应用(张晗方)
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