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文献检索:
  • 让解题思路来得更自然一些——一道高中数学联赛试题引起的思考 免费阅读 下载全文
  • 1999年全国高中数学联赛的第五大题为:给定正整数n和正数M,对于满足条件     a21+a2n+1≤M(1)的所有等差数列a1,a2,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.这是一个关于数列、不等式和极值等知识的综合性题,着重考查学生综合应用知识的能力.下面是命题组提供的解答:解法1(配方法) 设公差为d,an+1=a,则  S=an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)a+n(n+1)2d,故有   a+nd2=Sn+1.于是 M≥a21+a2n+1=(a-nd)2+a2=410(a+nd2)2+110(4a-3nd)2≥410(Sn+1)2.(2)因此 |S|≤102(n+1)M,且当a=310M,d=4101nM时,S=(n+1)[310M+n24101nM]=(n+1)510M=102(n+1)M,且由于此时4a=3nd,故a21+a2n+1=410(Sn+1)2=410.104M=M.所以 S的最大值为102(n+1)M.显然,解法1不失为一种“优美”的解答,它所用到的凑配技巧确实构思精巧,解法独特,充分体现了(凑)配方技术的魅力和解题技巧性的高明.可以说,将(1)式凑配为(...
  • 关于中考数学命题的几点思考 免费阅读 下载全文
  • 为贯彻落实《面向21世纪教育振兴行动计划》,实施“跨世纪素质教育工程”,积极进行课程、教学、考试和评价的改革已势在必行.本文主要结合中考数学命题谈谈个人的一点看法.1 注重数学能力的考查,突出运用数学的意识对学生数学能力的考查,主要应包含以下几个方面:1.1 在突出知识点的内在联系基础上,重点考查逻辑思维和解决综合性知识的能力试题应从数学问题的内部元素的联系上,从问题的变形上来进行设计一些入口宽的综合性试题.考查学生逻辑思维的条理性、缜密性以及学生清晰的思路和明确的方向性.命题中可涉及代数与几何,代数与三角,几何与三角等各分支间的综合性问题以及代数中式与方程,函数与方程式,不等式与方程,不等式与函数,三角中解直角三角形与解斜三角形,几何中圆与直线形等各部分内容的综合性问题.考查学生能否深刻领会课本中的各知识点以及能否把握各知识之间的内在联系,能否通过对问题的分析,揭示问题的实质,并从整体的角度去解决问题.1.2 注重考查空间观念对学生空间观念的考查这类问题的设计,应主要借助于尺规作图题、添加辅助线以及简单的空间几何图形来进行,要求学生能灵活处理问题,会根据具体条件选取适当的方法.1.3 加强估算、推理和对模式...
  • 104解析几何中的两圆问题——探索性习题训练案例 免费阅读 下载全文
  • 主持人按 “我们必须适当拓展中小学数学习题的观念,构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系.这里,十分重要的是,要鼓励广大教师提供精彩的习题训练案例及其相应的知识能力标准”.这是顾泠沅先生在《有效地改进学生的学习》一文中提出的一个十分重要的方向性呼吁.本栏正是发表与积累“精彩的习题训练案例”的好园地.本期,我们把两位老师的稿件充实修改后率先发表,就是给读者发出了这么一个新信息.一个典型的例习题,对教学来说,决不只是“(应)怎么去解?”,更重要的是“(可、该)怎样去想?”的问题.对一个例题作多角度分析,给学生的发展带来的好处是无容置疑的.只是它也必将给教师本人的素质以及他的钻研精神,提出了更多更高的要求了.读者如果愿意,如果敢于接受这样的挑战,望与我们一起协作,共同努力,以逐渐地(在本栏)积累起一大批精彩的例习题训练案例.上课伊始,教师发下如下的一张纸片:问题1 我们知道,相交两圆 ○.O1:x2+y2-2x+4y+4=01与○.O2:x2+y2-10x-2y+1=02的公共弦所在直线的方程,可由1-2(消去二次项)得到.那么,对于两个不相交且非同心的圆的方程,也这么地处理,得到的是怎样的图形呢?问题2 已知...
  • 高中数学学案的设计和运用 免费阅读 下载全文
  • 在教学过程中,在“启发探索型”教学模式的基础上,本人探索出了一种新的模式——“启发探索型教案+学案”(称之为双案法),较好地体现了教法与学法的统一,收到了良好的教学效果.本文是作者对学案的设计与运用的一些探索.1 “启发探索型学案”的理论依据所谓“数学学案”,是教师在教案的基础上,为开发学生智力设计的一系列问题探索、要点强化等情景形成纲要式的学习方案,印发给学生,供学习使用,并由学生完成的一种主动求知的特殊案例.通过学案,使学生明确本节教材内容的知识结构,同时也把教师讲课的课堂知识结构展现出来,这样可使学生思路清晰,便于掌握知识,还节省了学生记课堂笔记的时间,让学生将注意力集中到对问题的理解与深化上.学生的认识过程可分为主动认知和被动认知.主动认知的过程是积极参与过程,是科学知识的复制与再生的过程.例如,一部电影,亲自看和听别人讲效果截然不同,因为感观的场所气氛不同,感观的效果、理解接受的程度是不可能相同的.“启发探索型学案”的目的是使学生由被动认知变为有指导地、探索性地求知.这是认知过程的一种突破与飞跃,可以尽可能地将感性认识转化为理性认识“学案”体现以教为主导,以学为主体的指导思想,充分发挥学生的主观能动...
  • 谈中学数学教学资源网站的建立 免费阅读 下载全文
  • 在全球社会信息化宏观背景下,21世纪数学教育不得不面临信息技术的挑战,教育信息化是历史发展的必然趋势.而教育信息化的根本在于教育资源的开发、利用和创造.笔者认为,既然通过Internet网络连接数据库,可使个人智慧连接成为集体智慧,那么通过建立中学数学教学资源网站,将使得数学教师的个人备课超越时空,成为全国同行的集体备课,借助互联网的交互性,可使数学教育信息资源由静态藏书变为动态的信息传播,实现数学教学资源共享,利用工具软件(如powerpoint,authorware等)将再实现数学教学的再创造.1 中学数学教学资源网站建立的迫切性长期以来,中学数学教师工作繁重,时间紧,无暇上网,加之网上数学教学资源较少,国内无固定中学数学网站,因此国内数学教学极少借助网络,备课封闭,缺乏交流,备课的素材单一,整个数学教育界存在以下问题:(1)缺乏应用信息技术的常识.在亚洲第四届数学技术大会ATCM’99(1999,12,17广州师范学院召开)上了解到,国际上数学教育应用数学技术已轰轰烈烈,而国内尚未形成潮流.随着计算机及其网络迅速延伸到社会生活各个方面,信息收集、分析、加工、处理成为信息社会对人类生存的基本要求,信息素养...
  • 调整优化 推陈出新——学习初中数学大纲(试用修订版)的体会 免费阅读 下载全文
  • 《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》(以下简称大纲,修订前的大纲简称原大纲),已于2000年3月由教育部颁发.大纲体现了国内外初中数学课程改革的某些成果,提出要重视培养学生的创新意识和实践能力;对教学内容和教学要求进行了调整,以合理减轻学生的负担;此外还要求改进教学测试和评估,使评估过程和结果更有利于学生的发展.在新的数学课程标准颁布以前,这份大纲为下世纪初的初中数学教育提供了较之原大纲更符合时代、更切合实际的依据.现将学习大纲的主要体会概述于下.1 调整的必要性和可行性1.1 国外及我国港台地区初中数学课程的发展概况20世纪80年代以来,国际上关于数学教育的理论不断更新,对课程的研究和改革已成为共同关注的焦点之一.综合国外和我国港台地区的有关研究,关于初中数学课程的发展有着如下的共同倾向:1.1.1 数学为大众(MathematicsforAll).这一口号是1984年在第五届国际数学教育大会上形成的.它的内涵是:数学是为大众的,人人都有学习全程的学校数学的机会;学习数学是为了满足现实生活的需要,因此应该学习对于现实生活有用的数学;不同的人可以学习不同的数学,但人人都要掌握重要的、共同的...
  • 求点关于直线对称点坐标的一种简捷方法 免费阅读 下载全文
  • 求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(x,y)的一般方法是解方程组y-y0x-x0.(-AB)=-1A(x+x0)2+B(y+y0)2+C=0(1)(2)(*)但对学生来说,此方程组列出容易,解起来比较复杂,特别当A、B数值不太凑巧时,出错率较高.笔者在教学过程中,惊喜地发现求点关于直线的对称点坐标可以由一个对称的、简捷的公式给出,即有:定理 若点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0 (AB≠0)的对称点为Q(x,y),则 x=x0+Aty=y0+Bt其中  t=-2(Ax0+By0+C)A2+B2.证明 由方程组(*)中(1)得   Ay-Bx-Ay0+Bx0=0,(3)由(2)得 Ax+By+Ax0+By0+2C=0,(4)由(3)×B-(4)×A得(-B2-A2)x-2ABy0+(B2-A2)x0-2AC=0,即  x=(B2-A2)x0-2ABy0-2ACA2+B2=x0+-2A2x0-2ABy0-2ACA2+B2=x0+A.-2(Ax0+By0+C)A2+B2.由(3)×A+(4)×B得(A2+B2)y-(A2-B2)y0+2ABx0+2BC=0,即  ...
  • 一道2000年CMO试题的背景及别解 免费阅读 下载全文
  • 2000年中国数学奥林匹克第一题是[1]:设a、b、c为△ABC的三条边,a≤b≤c,R和r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径.令f=a+b-2R-2r,试用角C的大小来判定f的符号.据笔者掌握的资料,此题可能是以《美国数学月刊》1999年2月号问题10713为背景编制的[2]:设a、b、c、R、r分别为满足A≥B≥C的△ABC的三边长、外接圆及内切圆的半径,则△ABC为锐角三角形的充要条件是R+r≤b+c2.下面,笔者给出一个有别于2000年中国数学奥林匹克主试委员会所供答案的解答.解 由正弦定理和三角恒等式cosA+cosB+cosC=R+rR,可得 f=2R(sinA+sinB-cosA-cosB-cosC)=2R(2cosC2cosA-B2-2sinC2cosA-B2-cosC)=2R[2cosA-B2(cosC2-sinC2)-(cos2C2-sin2C2)]=2R(cosC2-sinC2)(2cosA-B2-cosC2-sinC2),而 2cosA-B2-cosC2-sinC2 =cosA-B2-cosπ-A-B2+cosA-B2-cosA+B2 =2sinπ-2A4sinπ-2B4+2sin...
  • 对半角三角函数的符号问题的剖析 免费阅读 下载全文
  • 半角三角函数公式中,都具有双重符号,在使用这些公式时,如何确定符号就成为一个很重要的问题了.本文就此进行剖析.1 从课本中的两个例题谈起高中代数(必修)上册P221的例1和P222的例2是关于半角的正弦、余弦和正切的两个例题,这两个例题在求解时都需要正确确定符号.先看例2:已知cosθ=-35,并且180°<θ<270°,求tgθ2.解 ∵ 180°<θ<270°,∴ 90°<θ2<135°,∴ tgθ2=-1-cosθ1+cosθ=-2.从例2可以看出,凡所给的单角是区间角,半角也是区间角,半角三角函数的符号是容易确定的.再看例1:已知cosα=12,求sinα2,cosα2,tgα2.解 sinα2=±1-cosα2=±12,cosα2=±1+cosα2=±32,tgα2=±33.为什么此例中α2的三角函数均取正负两个值呢?因为例1中的α不是区间角,而是象限角,比例2复杂多了.下面的解法将会使你茅塞顿开.解 ∵ cosα=12>0,∴ 2kπ-π2<α<2kπ+π2(k∈Z),∴ kπ-π4<α2
  • 直线方程x=my+a的重要功能 免费阅读 下载全文
  • 解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1 已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解 设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,  y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0.(3)因为 S△AOB=12|OC|.|AB|,而 |AB|=|x1-x2|k2+1=42k2+1k2k2+1,  |OC|=|2k|k2+1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以 S△AOB=12.42k2+1k2k2+1.|2k|k2+1=42k2+1|k|=42+1k2→42.我们发现达不到最小值,原因何在?问题出在直线方程的假设下.由于在设点斜式直线方程y=k(x-2)时,已经把过P点垂直于x轴(斜率不存在)的直线给漏掉了,而这漏掉的直线恰巧是使得三角形面积达到最小值的情形,所以要补上后才能得到(S△AOB)min=42.假如我们注意到点P(2,0)在x轴上的特性,而设直线方程为l:x=my+2则与抛物...
  • 一组几何不等式的代数本源与推广 免费阅读 下载全文
  • 文[1]、[2]建立了一组很强的几何不等式,其构思之巧妙令人折服,本文追溯问题的代数本源,将其与文[3]的结果统一推广为:定理1 设函数f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内具有三阶导数且f(x)>0(或f(x)<0),则对任意x、y、z∈R,且x+y+z=0,有  f(x2)+f(y2)+f(z2) ≥(或≤)f(0)+2f(x2+y2+z22)1当且仅当x=0或y=0或z=0时取等号.证明 当xyz=0时(注意x=0导致y=-z,等等),易知不等式1中等号成立.当xyz≠0时,因x+y+z=0,不妨设x与y同号,进而可设x、y>0.则由z=-(x+y)易知不等式1等价于:对任意x、y>0有  f(x2)+f(y2)+f((x+y)2) >(或<)f(0)+2f(x2+xy+y2).2为证不等式2,视y为常量,考虑x的函数F(x)=f(x2)+f((x+y)2)-2f(x2+xy+y2),其导数F′(x)=2xf′(x2)+2(x+y)f′((x+y)2)-2(2x+y)f′(x2+xy+y2).因[f′(x)]″=f(x)>(或<)0,故f′(x)为连续下凸(或上凸)函数,则由加权Jensen不等...
  • 华中师大出版社迎战“高考改革”推出“3+X考试”系列教程 免费阅读 下载全文
  • 目前,“3+X”高考改革已成为广大中学教师、学生及其家长关注的热点和焦点.教师如何教,学生如何学,考试如何考,成为教育界、出版界及其他有关人士共同关心的现实课题.1999年,广东省率先试行高考“3+X”模式.2000年除广东外,又有江苏、浙江、吉林三省加盟到“3+X”考试模式的行列之中.而到2001年,全国大部分省市将全面推行这一新的考试模式.眼下,市面上“3+X”、“3+2”之类的教辅图书已见不少,但真正实用、体现改革精神的还极少.有研究者将此类书归结为三类:一类是封面上赫然印着“3+X”之类的字样,内容全是旧的,名实不符;第二类是把综合考试科目作为其中一项专门介绍的;第三类是专门针对综合科目考试设计的测试题.华中师大出版社推出的《“3+X”高考综合科目考试教程》“文科综合”、“理科综合”系列丛书,大大超越了上述几类真假“3+X”书籍.在短短三个月之内,“理科综合”册热销7万,“文科综合”册也突破4万,且走势正旺.其原因是华中师大版“3+X”丛书实属同类中的精品图书.丛书的主编王后雄是全国劳模、著名特级教师.作者为湖北黄冈“3+X”综合能力测试课题组,广东、江苏、浙江“3+X”题型研究组成员.他们以课堂教学...
  • 反思通解·引出简解·创造巧解 免费阅读 下载全文
  • 在解题教学中,有些教师总是演示“成功”,教师的解题思路方法一想就正确、巧妙;教师从不展示“失败”,从不展示在解题思路和方法碰壁时怎么办.长此以往,学生的独立解题能力得不到提高,而且对巧解有一种神秘感.其实,许多问题的巧解可以在反思通解的过程中产生,教师若能引导学生对通解进行反思,使学生在反思中看到转变思维的方向、方式、方法和策略,缩小探索范围,尽快获得发现的成功,这不仅使学生感到巧妙思路的得来是顺其自然的,而且在发展学生思维、培养创新能力上无疑是一种很好的体验和进步.题目 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),是否存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤12(x2+1)对一切实数x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,说明理由.学生思考后,容易想到如下的常规解法:解法1 f(x)≤12(x2+1) 即(1-2a)x2-2bx+1-2c≥0,(1)f(x)≥x即ax2+(b-1)x+c≥0.(2)∵ (1)、(2)两式对于一切实数x都成立,而且f(x)的图象经过点(-1,0),∴ a、b、c应满足条件1-2a>0a>04b2-4(1-2a)(1-2c)≤0(b-1)2-4ac≤0a-b...
  • 点坐标的设而不求(连堂讲稿) 免费阅读 下载全文
  • [复习说明]在解答某些解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能发挥整体思想在解题中的优势,起到以简驭繁的效果.运用这种策略能够简捷解决1988年上海高考压轴题、1992年全国高考压轴题、1995年全国高考压轴题,因而本专题的复习很有必要.本专题的复习重点是让学生能在整体审题后灵活设出点的坐标,促使解几问题能定向地简便地化归;复习难点是对点坐标所满足的关系式的挖掘寻找与等价变形.[内容提要]实施点坐标设而不求的策略的一般程序是:(1)设立直线与曲线的交点,或曲线与曲线的交点,或其它与解题目标有关的点的坐标;(2)寻找点坐标所满足的等量关系;(3)通过对等量关系整体变形、整体消元实现题设向目标转化.[范例精讲]例1 (1981年全国高考压轴题改编)已知双曲线方程为3x2-y2=3,(1)求以A(2,1)为中点的弦所在直线方程;(2)问以B(1,1)为中点的弦是否存在?分析 (1)求以A为中点的弦所在直线方程只要求出其斜率即可,设该弦与双曲线交点为M(x1,y1)、N(x2,y2).∵ 点M、N在双曲线上,∴   3x21-y21=3,   图13x22-y22=3.相减得 3(x21-x22)-(y...
  • 不等式研究成果集锦(5) 免费阅读 下载全文
  • 48.△ABC三边长为a、b、c,半周长为s,则 ∑(s-b)2+(s-c)2b2+c2≥∑sin2A2≥∑2(s-a)2b2+c2≥34.(褚小光.1998,5)49.在△ABC中,ma、mb、mc,ta、tb、tc,ha、hb、hc,ra、rb、rc,分别表示其中线、角平分线、高线、傍切圆半径,R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径,则(1)Rr≥∑m2a∑mbmc+∑mbmc∑m2a,∑t2a∑tbtc+∑tbtc∑t2a,∑h2a∑hbhc+∑hbhc∑h2a,∑r2a∑rbrc+∑rbrc∑r2a.(2)Rr≥∑ma9r+9r∑ma,∑ta9r+9r∑ta,∑ra9r+9r∑ra.(尹华焱.1998,5)50.在△ABC中,三边为a、b、c,其对应边上的高分别为ha、hb、hc,则(i)∑(b-c)2≥19∑(b+ca)2(b-c)2+λ∑(hb-hc)2;(ii) ∑(b-c)2≥13∑b+ca(b-c)2+μ∑(hb-hc)2;(iii)∑b+ca(b-c)2≥19∑(b+ca)2(b-c)2+υ∑(hb-hc)2.这里λmax=23,μmax=13,υmax=89.(陈胜利.1998,5)5...
  • 错在哪里? 免费阅读 下载全文
  • 有这样一道题:设a>0,且a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),比较P、Q的大小关系.甲给出如下解法:∵ (a3-1)-(a2-1)=a3-a2=a2(a-1),∴ 当a>1时, a3-1>a2-1,从而 loga(a3-1)>loga(a2-1),即P>Q;当0loga(a2-1),即P>Q.因此   P>Q.乙给出如下解法:P-Q=loga(a3-1)-loga(a2-1)=logaa3-1a2-1=logaa2+a+1a+1=loga(1+a2a+1),∵   1+a2a+1>1,∴ 当a>1时,loga(1+a2a+1)>0,∴     P>Q;当00a2-1>0a>0且a≠1 即a>1,于是,将两人的解法适当修改,则可得如下的正确解法.解法1 ∵ (a3-1)-(a2-1)=a2(a-1),又 a3-1>0a2-1>0a-1>0且a≠1 即a>1...
  • 一道课本习题教学记实 免费阅读 下载全文
  • 高中《平面解析几何》(必修)课本P101第8题是一道极有教学价值的习题,认真挖掘该题的丰富内涵,对提高学生的数学意识和素养、培养创新精神大有裨益.本人在抛物线一节的习题课教学中,诱导学生从原题出发积极探索,不断提出新问题、解决新问题,取得了较好的教学效果,充分发挥了习题课的作用.原题 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2.求证:y1y2=-p2.1 教师启发,学生作答(1)请画出该题图形并标出字母.(2)y1y2=-p2说明了什么?答:如图1,交点A、B的纵坐标之积等于常数-p2.(3)该常数为什么是-p2,而不是p2或p或2p等等呢?换言之,常数-p2是怎样发现的?答:一般问题特殊化.图1由P101第5题知,当AB为抛物线通径时,y1=p,y2=-p,可得y1y2=-p2.(4)对于一般情形,怎样证明y1y2=-p2?答:若把y1和y2看作某个以y为未知数的一元二次方程的两实根,y1y2就是两根之积,所以只需找到该一元二次方程就行了.(5)怎样找?答:“设而不求”.由直线AB的方程与抛物线方程联立方程组,方程组的解就是交点A、B的坐标,消去x可得关于y的一元二次方...
  • 几类三角函数的值域问题 免费阅读 下载全文
  • 含有三角函数的复合函数值域问题,在各类试题中时常出现,这类问题经常涉及到代数中函数、方程与不等式等有关内容.下面就若干常见题型加以归纳总结如下,以供同行教学时参考.类型1 f(x)=asinx+bcosx(a、b不全为零).这是一类比较简单的函数.当x∈R时,ymax=a2+b2,ymin=-a2+b2.例1 求函数y=4sinx-3cosx的值域.解 当x∈R时,ymax=42+(-3)2=5,ymin=-5,∴ 所求的值域为[-5,5].类型2 f(x)=asinx+bccosx+d(a、c不全为零且ccosx+d≠0).对于这类函数,我们可以利用正、余弦函数的有界性或三角方程asinx+bcosx=c有解的充要条件a2+b2≥c2,求得它的值域.例2 求函数y=1-3sinx5+2cosx的值域.解 所给函数式可变形为  3sinx+2ycosx=1-5y.(*)∵ 5+2cosx≥3,∴ 5+2cosx≠0.故对于值域中的每一个y值,关于x的方程(*)总有实数解,故有32+(2y)2≥(1-5y)2,即   21y2-10y-8≤0.解之,得 5-19321≤y≤5+19321,∴ 所求的值域为[5-...
  • 圆锥面截口线是圆锥曲线的初等证法 免费阅读 下载全文
  • 高中数学教材中提到椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线,这是因为这三种曲线都可用一个平面与圆锥面相截,所得的截口线即为这三种曲线之一.这个结论用高等数学的知识是不难证明的,但较少看到此结论的初等证明.本文拟探究此结论的初等证明方法.设圆锥面的半顶角为β,为了便于研究,我们仅取圆锥面的一半,并用垂直于其轴的平面截圆锥面,构成一个圆锥.如图1,圆锥的轴截面为等腰△ABC,轴为AO,一平面截圆锥面,直线AO与该平面所成的角α称为轴截角.设圆锥底面半径为R,(1)α=β.图1如图1,平面EDG截圆锥面,轴截角∠AOD=α=β=∠OAC,截口线为曲线EDG,易知OD∥AB,OD=AD=R2sinβ.在平面EDG上取OD为x轴,D为原点建立平面直角坐标系,P(x,y)是截口线EDG上任意一点,连AP交底面圆于M,过P作PN⊥OD于N,则DN=x,NP=y.连OM,过P作PP′⊥OM于P′,过N作NN′⊥OC于N′,连P′N′,易证PP′、NN′均与圆锥底面垂直,∠ONN′=∠P′PM=α=β.在OD上取点F(-R2sinβ,0),在平面EDG上取直线l:x=R2sinβ(图1中均未画出),则P点到直线l的距离d=R2sin...
  • 一道国际最佳数学征解题的简证 免费阅读 下载全文
  • 文[1]中题124:设在△ABC内,sin2A+sin2B+sin2C=1.求证:其外接圆与九点圆正交.本文介绍这道题的一种简单证法.证明 △ABC的外心、垂心、半径、九点圆圆心、半径分别记作O、H、R、O9、R9,○.O∩○.O9=M.要证明○.O与○.O9正交,只要证明R29+R2=O9O2,[2]∵ OM=R,O9M=R9=12R,[3]∴   R29+R2=54R2.又   O9O=12OH,[3]OH2=9R2-(a2+b2+c2),[4](书[3]误(排)印为OH2=R2-4Rr)∴ O9O2=14OH2=94R2-14(a2+b2+c2).已知 sin2A+sin2B+sin2C=1,即   a2+b2+c2=4R2,∴ O9O2=94R2-R2=54R2,∴ R29+R2=O9O2,则∠O9MO=90°,即OM⊥O9M,OM、O9M分别为○.O9、○.O的切线.故○.O与○.O9正交一道国际最佳数学征解题的简证!422600$湖南省绥宁一[email protected] .国际最佳数学征解问题分析 .长沙 :湖南科学技术出版社 ,1 983 2 肖光基 .初等数学研究丛书 .解析几何 .成都 :...
  • 例谈探索性命题解题的思维方法 免费阅读 下载全文
  • 所谓探索性命题,就是从问题给定的题设中探究其相应的结论,加以证明,或从给定的题断要求中探究其相应的必须具备的条件.由于此类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,灵活选择方法的要求较高,对培养和考查学生的创造思维能力和探索能力可起到很好的效果.探索性命题的解题,除了必须具备扎实的基础知识和思维敏锐、推理严密、联想丰富等诸多要素外,还应熟练掌握分析判断、演绎推理、联想类比、合理转化、尝试探索、猜想论证等多种数学思维方法.1 条件探索型命题条件探索型命题是指问题中的结论明确,而需要完备使结论成立的充分条件.它要求学生要善于从所给的题断出发,逆向追索,逐步探寻,推理得出应具备的条件,进而施行解答.这是一类变换思维方向,开拓逆向思维能力,不落俗套的好题型.解此类题的解题策略有二:第一,模仿分析法,将题设和结论视为已知条件,分别进行演绎,再有机地结合起来,导出所需寻求的条件.第二,设出题目中指定的探索条件,将此假设作为已知,结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系.通过解方程或不等式等,求出所需寻找的条件.例1 已知z1=x+5+yi,z2=x-5+yi(x、y∈R),要使|z1|+|z2|=6,还需增加什么条件?分析 题...
  • 抛物线切线的一个性质 免费阅读 下载全文
  • 定理 设抛物线Γ的对称轴为l,直线PA、PB分别切Γ于A、B,直线AA1和BB1都平行于l,AA1与PB交于A1,BB1与PA交于B1,则P为线段AB1和线段A1B的公共中点.证明 设Γ的方程为y2=2px(p>0),则直线l为x轴,再设A、B的坐标分别为(y212p,y1)和(y222p,y2)(y1≠y2),则切线AP方程为图1y1y=p(x+y212p),切线BP方程为y2y=p(x+y222p),联解两方程可得点P的坐标为(y1y22p,y1+y22),又易得A1坐标为(2y1y2-y222p,y1),B1的坐标为(2y1y2-y212p,y2),由此可直接验证P为线段AB1的中点,P为线段A1B的中点抛物线切线的一个性质!617000$四川[email protected]
  • 用对立统一观点解解析几何题 免费阅读 下载全文
  • 因为数学自身的变化、发展,数学问题无不蕴含着各种辩证统一的关系.反之,用辩证统一的唯物主义观点,来指导解数学题,不但会有意想不到的效果,而且能强化辩证统一观,提高学生的数学素质.本文就对立统一观指导下,以解解析几何题举例以飧读者.1 利用动与静的辩证关系,巧解解析几何题动与静是一对对立统一的矛盾题,解题中通过动与静的相互转化,或以动求静,或以静求动,是解决数学问题的很好策略.例1 椭圆长轴为8,短轴为6,中心在第一象限,并始终与x轴及y轴相切,求椭圆中心C的轨迹.分析 若静止地从固定坐标轴的角度分析,解题有困难.如图1,若视椭圆为不动,而将两坐标轴看成椭圆的两垂直图1动切线移动,易求得与中心C为原点,对称轴为坐标轴的椭圆相切且互相垂直两切线的交点O的轨迹为圆:x2+y2=a2+b2=25,即交点O与中心C的距离始终为5.由此推知原问题的椭圆中心轨迹为圆弧:x2+y2=25(3≤x≤4,3≤y≤4)(解略).2 利用生与熟的辩证关系,化解解析几何题生与熟的对立统一,启发我们解题时要善于去留心、注意陌生条件的熟悉一面,从而找到解决问题的最佳途径.例2 已知椭圆x28+y24=1和点P(4,1),过P点作直线交椭圆...
  • 心距与沃尼克作图问题 免费阅读 下载全文
  • 1982年,William.Wernick在文[1]中提出:已知三个定点求作三角形的139个问题,文[2]中列出了悬而未决的41个问题,本文用心距公式证明问题73、问题80、问题121均为尺规作图不能问题.大家知道,仅限使用直尺和圆规的作图法称为尺规作图法.首先不加证明地给出如下结论:引理1[3] 设实数x为有理系数三次方程Ax3+Bx2+Cx+D=0 (A≠0)的根,则长度等于|x|的线段能从方程的系数出发而能用尺规作图的充要条件是方程至少有一个有理根.引理2[4] 如果既约分数rs是整系数方程p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的根,则 r|an,s|a0.引理3 △ABC的三边长a、b、c满足方程x3-2px2+(4Rr+r2+p2)x-4Rrp=0.证明 a+b+c=2p,因S△ABC=rp=abc4R,则abc=4Rrp.由海伦公式S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)知 r2p=(S△ABC)2p=(p-a)(p-b)(p-c)=p3-(a+b+c)p2+(bc+ca+ab)p-abc=-p3+(bc+ca+ab)p-4Rrp.整理即得 bc+ca+ab=4Rr+r2+...
  • 数学奥林匹克讲与练(25) 免费阅读 下载全文
  • 例题讲解193.用数字“1”、“2”组成5个n位数,使每两个n位数都恰有m个数位上的数字一致,但不允许在同一数位上5个n位数的数字都相同.求证:25≤mn≤35.证明 将这5个n位数在同一数位上的数字组成数对.每个数位有5个数字,可以组成C25=10个数对,n个数位共组成10n个数对.考察其中由不同的数字组成的数对(即数对(1,2)).由于同一数位上的5个数字不都相同,故在其组成的数对中,(1,2)的个数不少于C11C14=4个,不多于C12C13=6个,因而在10n个数对中,数对(1,2)不少于4n个,不多于6n个;另一方面,因为每两个n位数恰有m个数位上的数字相同,故恰有(n-m)个数位上的数字不同,由它们组成的数对即数对(1,2),故每两个数可产生(n-m)个数对(1,2),而5个数共产生C25.(n-m)=10(m-n)个这样的数对.综上所述,我们得到4n≤10(n-m)≤6n,解之即得  25≤mn≤35.194.8人进行象棋循环赛,每赛一局,胜者得1分,败者得0分,平局时比赛双方各得0.5分.结果发现每人的得分均不相同,且第二名的得分恰等于后四名的得分的总和,问在第三名与第七名的比赛中谁获胜.解 ...
  • 数学素质教育中优化教学过程的若干策略 免费阅读 下载全文
  • 实施素质教育的主阵地在课堂,这已形成大家的共识.课堂教学目标既要面向全体,立足学生的数学实际,又要着眼于未来,注重发展、促进内化,为每个学生数学素质的形成和发展形成良性循环.要实现这一教学目标,出路就在优化数学教学过程.如何优化数学教学过程,提高教学效益,是近年来数学素质教育中的重点研究课题.为此,现就优化教学过程的若干策略进行探讨.1 以突出学生的主体地位为前提学生的主体地位是指学生应是教学活动的中心,教师、教材、一切教学手段,都应为学生的“学”服务;学生应积极参与到教学活动中去,充当教学活动的主角.学生的主体地位主要有以下四个方面的表征:即学习的积极性、学习的主动性、学习的独立性和学习的创造性.课堂教学过程中,要努力做到在教师的指导下,学生自主学习、主动学习,发挥学习的最大潜能.那么,如何突出学生的主体地位呢?下面提出几个方面的问题,供同行思考:1.1 激励学生亲自尝试其表现在:“三动”进堂,“六多”落实.“三动”:即动手操作、动口表达、动脑思考.“六多”:即多读、多议、多想、多讲、多练、多听.1.2 树立新的学习观其表现在:(1)注意学法,重视学习的意愿和态度;(2)注重思考判断,问题猜想和创意构思;(...
  • 对初中数学教学“减轻负担,提高质量”的思考 免费阅读 下载全文
  • 在目前初中数学教学中,学生仍普遍存在着作业负担、记忆负担、心理负担过重,思维训练尤其是创新思维训练过轻的问题.针对这种情况,我们认为:要解决学生过重的学业负担问题,出路不能仅拘泥于减少作业、减少考试、减少死记硬背这样的宏观调控上,而是要拓宽思路,把精力放在微观的教学操作上,采取优化“结构”教学,强化“思维”训练,注重“变式”练习和实行“弹性”考试等方法,以减轻学生的记忆、作业、心理方面的负担,增加对学生创新思维的训练,提高学生自主学习能力和创新能力.这“三减一加”,能实现提高学生的数学素质的目的.1 优化“结构”教学,减轻记忆负担数学是一门逻辑性很强的学科.数学教学的本质就是对学生已有数学认知结构进行同化、重组、改造、构建的过程.因此,我们在教学中应注重对知识的集约化处理,加强“结构”教学,以纠正学生机械零乱的堆积知识现象,压缩信息储存空间,切实减轻学生的记忆负担,促使学生的认知向纵深方向发展.1.1 突出核心知识的教学初中数学中的基本概念、基本定理、运算法则和公式、基本作图等是知识体系的核心,只有把这些核心知识教活、教透,学生才能以此为框架,构建起立体式、有层次的认知结构,才能有效地减轻日后的学习负担,腾出...
  • 新题征展(10) 免费阅读 下载全文
  • A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于  对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于  对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于  对称.(廉万朝、孙荣供题)2.给出两个命题:命题甲 关于x的不等式x2+(a-1)x+a2>0的解集是R.命题乙 函数f(x)=log(2a2-a)x是增函数.(1)若甲、乙至少有一个是真命题,则a的取值范围是  ;(2)若甲、乙都是真命题,则a的取值范围是  ;(3)若甲、乙至少有一个是假命题,则a的取值范围是  .(吴新华供题)3.设f(x)=ax2+2x-2a-1.(1)若三角方程f(2sinθ)=0恰有两个不等实根θ1、θ2∈(0,π),试求实数a的取值范围;(2)若三角方程f(2sinθ)=0恰有两个不等实根θ1、θ2∈[π,76π],试求实数a的取值范围;(3)若三角方程f(2sinθ)=0恰有两个不等实根θ1、θ2∈(0,76π],试求实数a的取值范围;(4)若三角方程f(2sin...
  • Hlawka不等式的一个证明及应用 免费阅读 下载全文
  • Hlawka不等式是处理向量模论的一个重要的初等不等式.它可表述为定理 设z1、z2、z3是三个复数,则 |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z1+z3|+|z2+z3|.这个不等式的证明有较大的难度,一般要求构造一个恒等式.[1]本文给出这个不等式的一个简洁的新证明并应用它解决一道征解题.证明 由模的基本不等式有  |z1(z1+z2+z3)+z2z3| ≤|z1||z1+z2+z3|+|z2z3|,类似还有两式,将此三式左右两边分别相加并化简,得 |(z1+z2)(z1+z3)|+|(z1+z2)(z2+z3)|+  |(z1+z3)(z2+z3)|≤(|z1|+|z2|+|z3|)|z1+z2+z3|+|z1z2|+|z1z3|+|z2z3|.(1)又由恒等式 |z1+z2|2+|z1+z3|2+|z2+z3|2=|z1|2+|z2|2+|z3|2+|z1+z2+z3|2,(2)故2×(1)后与(2)式相加并化简,得 (|z1+z2|+|z1+z3|+|z2+z3|)2≤(|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|)2,从而两边开平方即可得Hlawka不等式.应...
  • 一个三角形性质的新证及归纳 免费阅读 下载全文
  • 如图1,在△ABC内任取一点O,连结OA、OB、OC,沿A→B→C→A方向依次排出六个角(以下为了方便,直接用1~6这六个自然数表示角),可以得出如下性质:图1 sin(1+2)sin(2+3)sin5=sin(4+5)sin(5+6)sin2,(1) sin(2+3)sin(3+4)sin6=sin(5+6)sin(6+1)sin3,(2) sin(3+4)sin(4+5)sin1=sin(6+1)sin(1+2)sin4,(3) sin(1+4)sin(3+4)sin5=sin(5+6)sin(5+2)sin4,(4) sin(2+5)sin(4+5)sin6=sin(6+3)sin(6+1)sin5,(5) sin(3+6)sin(5+6)sin1=sin(1+4)sin(1+2)sin6,(6) sin(2+3)sin(5+2)sin1=sin(6+1)sin(1+4)sin2,(7) sin(3+4)sin(6+3)sin2=sin(1+2)sin(2+5)sin3,(8) sin(4+5)sin(1+4)sin3=sin(2+3)sin(6+3)sin4.(9)这是文[1]给出的三角形中很有价值的...
  • 让解题思路来得更自然一些——一道高中数学联赛试题引起的思考(赵小云)
    关于中考数学命题的几点思考(孙延洲)
    104解析几何中的两圆问题——探索性习题训练案例(陆安定[1] 张忠旺[2])
    高中数学学案的设计和运用(丁邦勇)
    谈中学数学教学资源网站的建立(孙旭花)
    调整优化 推陈出新——学习初中数学大纲(试用修订版)的体会(蔡上鹤)
    求点关于直线对称点坐标的一种简捷方法(邱升)
    一道2000年CMO试题的背景及别解(宋庆)
    对半角三角函数的符号问题的剖析(郝世富)
    直线方程x=my+a的重要功能(闻杰)
    一组几何不等式的代数本源与推广(简超)
    华中师大出版社迎战“高考改革”推出“3+X考试”系列教程
    反思通解·引出简解·创造巧解(曹军)
    点坐标的设而不求(连堂讲稿)(雷海勇)
    不等式研究成果集锦(5)(杨学枝)
    错在哪里?(李成洲)
    一道课本习题教学记实(李平凡)
    几类三角函数的值域问题(贾玉友[1] 陈思楼[2])
    圆锥面截口线是圆锥曲线的初等证法(肖铿)
    一道国际最佳数学征解题的简证(黄汉生)
    例谈探索性命题解题的思维方法(邹锦程)
    抛物线切线的一个性质(方廷刚)
    用对立统一观点解解析几何题(王琛)
    心距与沃尼克作图问题(姚建新)
    数学奥林匹克讲与练(25)(肖果能)
    数学素质教育中优化教学过程的若干策略(金建平)
    对初中数学教学“减轻负担,提高质量”的思考(周庆军)
    新题征展(10)(甘大旺 吴新华 廉万朝 孙荣)
    Hlawka不等式的一个证明及应用(张姝娜[1] 袁月定[2])
    一个三角形性质的新证及归纳(陈远新)
    《中学数学》封面

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