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  • 数学奥林匹克讲与练(29) 免费阅读 下载全文
  • 例题讲解2 2 5.在圆周上依逆时针方向排列着 n个数 a1,a2 ,… ,an,一次操作是指 :将相邻的三个数 x、y、z分别用 x +y,- y,y +z代替 .如果开始时圆周上排列的数依次是 1,2 ,… ,9,10 ,- 1,- 2 ,… ,- 9,- 10 ,问能否通过有限次操作 ,使圆周上的数改变成依次是10 ,9,… ,2 ,1,- 10 ,- 9,… ,- 2 ,- 1.解 设圆周上所排列的数依次是 a1,a2 ,… ,an,且 ∑ni=1ai=0 ,又令 an+1=a1,an+2 =a2 ,考察数列 a1,a2 ,… ,an,an+1,an+2 ,对圆周上相邻三数的操作 ,就是对这个数列的相邻三项的相同操作 .引进辅助数列 { bi} :bi=∑ir=1ar=a1+a2 +… +ai,i=1,2 ,… ,n +2 .即 { bi}是数列 { ai}的部分和序列 ,由于 ∑ni=1ai=0 ,故bn+1=b1,bn+2 =b2 .我们将 b1,b2 ,… ,bn 也沿逆时针方向依次排在一个圆周上 .设 ai=x,ai+1=y,ai+2 =z ( 1≤ i≤ n)是序列{ ai}的相邻的三项 ,...
  • “三角形正则点问题”研究集锦 关于三角形正则点研究的新进展综述 免费阅读 下载全文
  • 编者按 本刊 1999年第 6期发表了孙四周老师“关于三角形一个新点的发现及初探”(以下简称《初探》)一文 ,称“三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点”为该三角形的正则点 ,证明了 :当△ ABC最大角 A <12 0°时 ,形内有唯一正则点 ;A =12 0°时 ,BC边上有唯一正则点 ;A >12 0°时 ,正则点在形外 ,并猜想 :( 1)非等边三角形有两个正则点 ,至多一个在形内 ;( 2 )当三角形有两个正则点时 ,已知一个 Z满足ZA =bcλ,ZB =caλ,ZC =abλ,则另一个 Z′满足 :Z′A =bcλ′,Z′B =caλ′,Z′C =abλ′,其中 λ =b2 +c2 - 2 bccos( A +60°) ,λ′=a2 +b2 - 2 abcos( C - 60°) .( 3)并非所有 n ( n >3)边形都存在各自的正则点 .此后 ,本刊陆续收到有关文章数篇 ,现予摘发 (以收文时间先后为序 )1.杨学枝老师审阅文《初探》时指出 ,λ即三角形费马和 .2 .正则点的一条性质 :设△ ABC内的正则点 Z到三边 a、b、c的距离依次为 r1、r2 、r3,则r1=ab...
  • 寓数学能力的培养于初一的课外活动之中 免费阅读 下载全文
  • 新生进入初一以后 ,普遍反映数学课的负担不重 ,成绩稍好的同学甚至认为初一的数学教材 (实际上多只看了看《代数》第一册(上 )册 )没有什么内容 ,因此有一种轻视和放松的思想 .为了贯彻中共中央关于深化教育改革 ,全面推进素质教育的决定 ,培养学生的创新意识和创新思维习惯 ,从初一起 ,我们就抓住这一有利时机 ,开展一些数学课外活动 ,培养学生的数学能力 ,收到了较好的效果 .下面略举两例 ,以兹说明 .例 1 如图 1 ,一个封闭的立方体 ,它 6个表面各标出 A、B、C、D、E、F 6个字母中的 1个字母 ,现放成下面 3个不同位置 ,所看见的表面上的字母已标明 ,试问这些字母对面的字母各是什么 ?甲     乙     丙图 1开始学生一看题目 ,不知道从何处着手 .我提示说 :“甲、乙、丙 3个图形中 ,每次只能有3个可见面 ,这 3个可见面中出现了哪些相同的字母 ?”生 A:甲、乙两图中字母 A、C相同 ,但字母倒过来了 ;甲、丙两图中字母 B、C相同 .生 B马上抢答说 :由甲、丙两图知 ,A的对面应该是字母 E.师 :为什么 ?生 B:图丙是将图甲向左旋转了一个角度 .师 :那么甲、乙两图呢 ?...
  • “现值”与“终值” 免费阅读 下载全文
  • “现值”与“终值”是利息计算中两个非常重要的基本概念 ,掌握好这两个概念 ,对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的 .所谓“现值”是指在 n期末的金额 A,把它扣除利息后 ,折合成现时的值 .而“终值”是指 n期后的本利和 .它们计算的基点分别是存期的起点和终点 .以下我们将对此作一简要的介绍并给出几个实际应用的例子 .1 单利中的现值与终值在单利公式 S=P( 1+n R)中 ,把本利和 S称为本金 P在 n期末的终值 ,反过来把本金 P称为 S的现值 .例如 ,在 n期末的金额 A,其现值为 Q =A1+n R.若每期发生本金 (简称年金 )为 A,每期利率为R,共 n期 ,单利计息 ,则 n期的现值之和称为单利年金现值 ,而 n期的本利和的总额叫做单利年金终值 .1.1 单利年金现值( 1)若期初发生年金 A,则每期的现值 (从第 1期到第 n期 )为 :  A,A1+R,… ,A1+( n - 1) R,(注意第 1期的年金不必扣除利息 )其和  Q =A +A1+R+… +A1+( n - 1) R=∑n- 1k=0A1+k R  (调和数列前 n项之和 )即为单利年金...
  • 关于三角形正则点的两个命题 免费阅读 下载全文
  • 命题 1 在△ ABC中 ,∠ A =12 0°,则在其外必存在一个正则点 .证明 如图 5,任作正△ DEF,以 ED为弦 ,向外侧作含 60°圆周角的 DE,在其上取一点 Z,使∠ DZF=∠ B,连 ZE,则∠ FZE=∠ C;分别作 ZD、ZE、ZF 图 5的中垂线两两相交于 A′、B′、C′,则 Z显然是△ A′B′C′的正则点 .因 A′、M、Z、N共圆 ,∠ DZE =60°,则∠ C′A′B′ =∠ MA′N =12 0°.又 K、N、Z、C′共圆 ,∠ C′=∠ 2 =∠ FZE =∠ C,故△ A′B′C′∽△ ABC,故 Z的对应点即为△ ABC的正则点 .当∠ A′<12 0°时 ,∠ B′+∠ C′>60°,故猜想此时△ A′B′C′的正则点在弓形 DZE内部 .事实上 ,用类似方法 ,我们证明了命题 2 若△ ABC的最大角 A <12 0°,则三角形外部必存在一个正则点关于三角形正则点的两个命题!545200$广西省柳城县中学@梁卷明
  • 幂函数定义小议 免费阅读 下载全文
  • 高中《代数》(必修 ) P44指出 :“函数y =xα 叫做幂函数 ,其中 x是自变量 ,α是常数 (这里我们只讨论α是有理数 n的情况 ) .”笔者从一些数学教学资料中发现 ,不少教师对“这里我们只讨论α是有理数 n的情况”的理解错误 ,比如某编辑部主编的《高一数学教学与测试》中有这样一道题 :已知函数 f (x) =(m2 + 2 m) . xm2 +m - 1,m为何值时 ,f (x)是幂函数 .现将其解答抄录如下 :由  m2 + m - 1∈ Qm2 + 2 m =1   (m2 + 2 m - 1 ) - m∈ Qm =- 1± 2   - m∈ Qm =- 1± 2此不可能 ,故不可能为幂函数 .很明显 ,上述解题认为 :当α为有理数时 ,函数 y =xα 叫做幂函数 ;当α为无理数时 ,函数 y =xα不叫幂函数 .笔者认为 ,上述认识是错误的 .课本中的补充说明“这里我们只讨论α是有理数 n的情况”是指中学阶段研究幂函数 y =xα时 ,只研究α为有理数 n的幂函数 ,并不是说只有α为有理数时 ,函数 y =xα 才叫幂函数 .因此 ,课本给出的幂函数定义应理解为 :当α∈ R时 ,函数 y...
  • 2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题(理工农医类)及解答 免费阅读 下载全文
  • 一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1.已知向量 OA ={ - 1,2 } ,OB ={ 3,m} ,若OA⊥ AB,则 m =   .2 .函数 y =log22 x - 13- x 的定义域为   .3.圆锥曲线 x =4 secθ +1y =3tgθ 的焦点坐标是   .4 .计算 :limn→∞ ( nn +2 ) n =   .5.已知 f ( x) =2 x +b的反函数为 f -1( x) ,若y =f-1( x)的图象经过点 Q( 5,2 ) ,则 b =   .6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告 ,1999年上海市完成 GDP( GDP是指国内生产总值 ) 40 35亿元 ,2 0 0 0年上海市 GDP预期增长9 .市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0 .0 8 .若 GDP与人口均按这样的速度增长 ,则要使本市年人均 GDP达到或超过 1999年的 2倍 ,至少需  年 .(按 :1999年本市常住人口总数约 130 0万 )7.命题 A:底面为正三角形 ,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥 .命题 A的等价命题 B可以是 :底面为正...
  • 一个定理的简证 免费阅读 下载全文
  • 本文给《初探》一文中的定理一个简洁的证明 .( 1)如图 4 ,任作正△ DEF ,因设 A <12 0°,知180° - A >60°,故可在正△ DEF内取一点 Z′,使∠ EZ′F =180°- A,∠ FZ′D =180°- B.分别作线段 DZ′、EZ′、FZ′的中垂线 ,两两相交于 A′、B′、C′,则A′、K、Z′、N共圆 ,故 A′=180°-∠ EZ′F =A,同理知 B′ =B,故△ A′B′C′∽△ ABC;又由作图知 Z′在△ A′B′C′内部且为其正则点 ,因此 Z′在△ ABC的对应点 Z必在其内部且为正则点 .又因在△ DEF内 ,分别以 EF、FD为弦 ,所含圆周角 图 4分别为 180°- A与 180°- B的两段弧 ,只有唯一交点 Z′(另一个为 F) ,故唯一性得证 .( 2 )当 A =12 0°时 ,图 4中的 Z′就是 D:分别作DE、DF中垂线交于 A′,过 D作直线交两中垂线于B′、C′,且∠ B′=B,由于∠ A′=180°-∠ D =12 0°=A故 C′=C.以下可仿 ( 1)证明结论 ( 2 )成立 .( 3)当 A >12 0°时 ,∠ EZ′F =...
  • 问题与活动——课堂教学的核心 免费阅读 下载全文
  • 如何优化教学过程 ?这与对教学的评价标准有直接关系 .我们认为 ,能通过适当的问题激发学生积极思维 ,使学生动手动脑 ,展开主动探索性的活动 ,并在此过程中受到科学的思维方法的熏陶 ,提高分析问题、解决问题的能力 ,这样的教学过程就是“优化”了的 .这其中最本质的两个要点是 :其一 ,适当的问题 ;其二 ,积极的活动 .本文就是笔者的一点粗浅的体会 .1 问题的合理运用1 .1 如何选择适当的问题好的问题应充分体现其实用性和必要性 ,能激发认知需求 ;好的问题能诱导反思性探索、促进知识的深化 ;好的问题往往是新知识的生长点 ,内在联系的交叉点 ,当然更应是创新思维的启动点 ;好的问题要能够促使学生展开积极的活动 (包括操作性活动和思考性活动 ) ,获得主动地进行发现的机会 .据此 ,设计问题的常用方法有 :(1 )提出生活、生产、实践中的应用问题(实际的需要 ) .如 :为引进极坐标系 ,可用炮兵射击问题引入 ,因为这是一个在直角坐标系中无法解决的问题 ,既激发兴趣 ,又显示必要性 .又如 :为显示“角的概念的推广”的必要性 ,可用“时钟快了 5分钟 ,现要校正 ,分针转了多少度 ?时钟慢了 5分钟 ,现要校...
  • 编程解有关等差数列的问题 免费阅读 下载全文
  • 笔者在编程求一元二次方程的根一文中 ,给出的程序如同做数学题一样 ,运用这个程序时 ,只要给出了方程的系数 (不管这些系数多么复杂 ) ,该方程的根就可立即求出 ,从而突破了笔算的局限性 .文中详细阐明了编程的算法根据和算法分析 ;程序的编写和调用 .本文将进一步介绍一些编程技巧 ,仍采用数学软件 MATHCAD进行编写 .对于等差数列 ,首项 a1、末项 an、公差 d、项数 n及前 n项和 Sn这五个基本量之间具有下列基本关系式 :an =a1+( n - 1) . d,Sn=na1+n( n - 1)2 . d =a1+an2 . n.由上述基本关系式可知 ,a1、an、d、n和 Sn这五个量中 ,任意给定三个 ,可求出其余的两个量 .因而可按以下十种情况进行编程 .注意到 ,前八种情形的求解 ,只需将上述基本关系式变形后即可实现 ,因而程序的编写如同做数学题一样 ,由于所求答案有两个返回值 ,故需用一个二维向量来表示 .第一个分量表示需求的第一个量 ,第二个分量表示需求的第二个量 .对于后两种情形 ,将所给三个量代入基本关系式后 ,即化为二元方程组的求解 ,因而要引进新的算法 .1.已知首项 a1,公...
  • 关于三角形的一个性质 免费阅读 下载全文
  • 如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明  (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于 M,过 C作 CL⊥ BG,交 图 1BG或其延长线于 L ,则有  APPD=AMDK=AMBDsin∠ CBG=AM1m BCsin∠ CBG=m .AMCL =m .AGCG=m . AG(m - 1 ) AG=mm - 1 .同理可得 :AQQE=mm - 1 ,于是 APPD=AQQE,从而PQ∥ DE,即 PQ∥ BC.同理可证 ,PR∥ AC,QR∥ AB,因而有△ RQP∽△ ABC.为了证明 (2 ) ,只要求出 PQ与 BC的比即可 .  PQBC=PQmm - 2 DE=m - 2m .PQDE=m - 2m .APAD=m - 2m . APAP + PD=m - 2m . 1...
  • 三角形另一正则点存在性的证明 免费阅读 下载全文
  • 用构造法 .设△ ABC的边 BC =a,CA =b,AB =c,若仅有一角小于 60°,不妨设为 A,则B - 60°+C - 60°=60°- A >0 .任取一点 Z1作射线 Z1C1、Z1A1、Z1B1使∠ A1Z1C1=B - 60°,∠ B1Z1A1=C - 60°,则∠ B1Z1C1=60°- A(如图 3) ,然后截取 图 3Z1A1=1a,Z1B1=1b,Z1C1=1c得△ A1B1C1.应用余弦定理 ,不难算得B1C1=λ′bc,C1A1=λ′ca,A1B1=λ′ab.又△ A1B1C1∽△ ABC (因对应边之比均为 λ′abc) ,又 Z1A1. B1C1=Z1B1. C1A1=Z1C1. A1B1=λ′abc,按《初探》一文引理 2 ,知 Z1是△ A1B1C1正则点 ,由相似三角形性质 ,知 Z1在△ ABC的对应点 Z′是△ ABC的正则点且在△ ABC之外 .若△ ABC有二角小于 60°,可类似证明三角形另一正则点存在性的证明!415200$湖南省临澧县一中@向国华
  • 一个不等式的证明 免费阅读 下载全文
  • 法国 Louis Pasteur大学的 Mohammed Aassila教授 ,在 1998年 9月的 Crux Mathematicorum WithMathematical Mayhem杂志 P30 4上提出了下面的不等式 :设 a、b、c >0 ,证明 :1a( 1+b) +1b( 1+c) +1c( 1+a) ≥ 31+abc.本文现给出其证明 .证明 原不等式等价于( 1+abc) [bc( 1+c) ( 1+a) +ca( 1+a) ( 1+b) +ab( 1+b) ( 1+c) ]≥ 3abc( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) ,即  ( 1+abc) [bc +ca +ab +ab2 +bc2 +ca2 +3abc+abc( a +b +c) ] ≥ 3abc( 1+a +b +c +ab +bc +ca +abc)   ( 1+abc) [ab +bc +ca +ab2 +bc2 +ca2 +  abc( a +b +c) ]≥ 3abc( a +b +c +ab +bc +ca)   ab +bc+ca +ab2 +bc2 +ca2 +  abc( ab2 +bc2 +ca2 ) +...
  • 用基本不等式解一道(新课程卷)高考试题 免费阅读 下载全文
  • 20 0 0年全国高考 (新课程卷 )数学 (理科 )试题第 2 0题为 :用总长 1 4.8m的钢条制作一个长方体容器的框架 ,如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0 .5 m,那么高为多少时容器的容积最大 ?并求出它的最大容积 .教育部考试中心提供的“参考答案”用到了导数的知识 .这里 ,笔者应用基本不等式给出该题一种简单解法 .解 设容器底面短边长 xm,容积为ym3,则高为1 4.8- 4 x - 4 (x + 0 .5 )4=3.2 - 2 x,从而  y =x(x + 0 .5 ) (3.2 - 2 x) ,(0
  • 借助波利亚解题思想 促进数学素质教育 免费阅读 下载全文
  • 波利亚是 2 0世纪最伟大的数学思想家 ,他的解题思想具有划时代的贡献 .徐利治先生倡导 :“我们要培养和造就一批波利亚型的数学工作者 ,要按照波利亚的思想改革数学教材和教学方法”,这为数学教育改革提供了理论依据 .因此 ,用波利亚的解题思想指导教学实践 ,无疑会大力推动数学素质教育 .1 波利亚的解题思想为数学解题教学提供方法论从根本上来说 ,数学教育改革的关键在于教师的观念、决心和业务水平 .“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读波利亚的书”.这就是说数学教育工作者要以波利亚的思想为理论准绳 ,正确把握数学观和教学观 .数学素质教育的目标是提高学生的数学素质 ,其先决条件是转变教学模式 ,使广大数学教师从题海中解脱出来 .传统的解题教学模式是对付应试教育的题海战术 ,与波利亚的以提高思维素质为目的的解题思想相悖 .波利亚解题思想与题海战术的比较比较对象波利亚解题思想题海战术范围和性质研究解题的通法 ,具有普遍性偏向研究类型题 ,具有特殊性训练方式少量选题 ,挖掘其数学思想方法习题集附加题型和解法训练目的增强思维功能 ,引导学生“入围”应付考试 能力要求思考力模仿力、复制力思维方式诱发灵感的探索法 ...
  • 110 正弦定理的发现 免费阅读 下载全文
  • (本专栏特邀过伯祥老师主持 ,稿件请寄  3160 0 0 浙江定海昌东新村 2 1幢 58#10 2室 )  主持人按 定理的发现也要注意方法的一般有用性 .不能光关注于发现“这一个”,而是要让学生学习领悟一般有用的发现思路、发现方法 .通过实验——观察——猜想——发现 ,是一般有用的 ;从欲证式 asin A=bsin B=csin C出发 ,作倒推分析 (有多条途径 ) ,由此得出几个变形式 ,再想到只要去证 bcsin A =casin B;或只要去证 bsin A =asin B等 ,这样的过程 ,也是一般有用的 ;从“Rt△中有 asin A=c”,去想“Rt△中的斜边相当于一般三角形中的什么 ?”,再扩展到提问 :“一般三角形中 ,asin A=2 R( =c)这样的关系式也能成立吗 ?”,这样做 ,难道不也是一般有用的么 ?!我 60年代初开始读波利亚的书 ,印象最深的就是 :要时时处处关注数学教育中的一般有用的东西 .这是提高课堂效率的一条佳途 !1 实验猜想发现上一节课 ,我给大家留了一个思考题 :(1 )△ ABC中 ,已知 b =5 ,c =1 0 ,A =6 0°;(2 )△ ABC...
  • 三角“条件求值”问题的一些解法 免费阅读 下载全文
  • 1 代入法例 1 已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α +β) .csc(α -β)值 .解 ∵    tgα .ctgβ =5,∴  sin(α +β) csc(α -β) =sin(α +β)sin(α -β)=sinαcosβ +cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ +1tgαctgβ - 1=5+15- 1=32 .2 配凑法例 2 已知 π2 <β <α<3π4 ,cos(α -β) =1213,sin(α +β) =- 35,求 sin 2α的值 .解 ∵  π2 <β <α <3π4 ,∴  0 <α -β <π4 ,π <α +β <3π2 ,∴  sin(α -β) =1- cos2 (α -β)=1- ( 1213) 2 =513,  cos(α +β) =- 1- sin2 (α +β)=- 1- ( - 35) 2 =- 45,∴  sin 2α =sin[(α +β) +(α -β) ]= sin(α +β) cos(α -β) +cos(α +β) sin(α -β)= - 35× 1213- 45× 513=- 5665.注 这里所用配...
  • 立体几何常见图形变式解题例谈 免费阅读 下载全文
  • 《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1 平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1 设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析 如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,  13.12 a .asin 6 0°.h =1 11 2 a3   h =333a,   BO =33a,(甲 )          (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...
  • 中外中小学数学教育的几点比较 免费阅读 下载全文
  • 从 5 0年代至今 ,世界各国的数学教育改革运动一直是风起云涌 ,一浪高过一浪 .而中小学数学教育改革总是首当其冲 ,被当作改革的“弄潮儿”.40多年来 ,这种改革的探索一直没有中断过 .如美国从 5 0年代至今就经历了四次较大规模的改革运动 :5 0年代到 70年代初的“新数学运动”;70年代后期的“回到基础中去”;80年代开始提出的“要以问题解决为中心”;80年代末至今提倡“要面向新世纪 ,适应信息时代的需要”等等 .这些变革从总体上看 ,都是反映社会发展对数学教育提出了新的要求 ,从另一个角度看 ,也反映出我们数学改革的目的应该是培养适应时代需要的“适应型”人才 ,同时也反映出随着社会发展 ,数学教育改革不可能一蹴而就 ,必须长期不断地进行下去 .也反映出教育必须为社会与经济发展服务的一种属性 .不同国家在不同时期的数学教育无论在教学目的、教学内容、教学方法上存在差异是可以理解的 ,也是历史的必然 .因此 ,对中外中小学数学教育进行比较、分析 ,也有一个横向与纵向的比较问题 .从某个国家而言 ,可以比较其在不同时期的数学教育 .从横向而言 ,可以比较不同国家在同一时期或几个时期的数学教育 .我们的工作是...
  • 预问问题教学简介——数学创新教育初探 免费阅读 下载全文
  • 本文主要介绍如何采用“预问问题教学法”进行课外辅导教学 .预问问题法 ,是指学生在学习数学过程中 ,把碰到的问题 ,经过反复思考、查阅资料、与同学讨论后仍解决不了的问题抄下来 ,给科代表统一收交给老师或由自己亲自交给老师 ,让老师思考后“第二天”给学生作答的一种课外辅导教学方法 .它强调让每个学生都去发现问题 ,问懂问题 ,并让老师对每个问题都有足够的思考时间 ,并在有限的辅导时间内辅导更多学生 .1 预问问题教学辅导的步骤(1 )发现问题 .激励、促使学生在学习中善于发现问题 ,提出有质量和适合自己认知能力的问题 .(2 )预问问题 .把问题先抄好后交给老师 ,以供老师统筹安排 .(3)解决问题 .向学生讲解问题 ,为学生释疑 .(4)巩固问题 .当学生乙来问老师的问题是学生甲已问过的问题时 ,则指派乙去问学生甲 ,当学生丙再来问此题时 ,则指派丙去问学生乙 ,由甲向乙讲解 ,乙向丙讲解…… .这样 ,学生在给别人讲解时 ,自己对问题的理解也更加明白 ,还帮助老师辅导了其他学生 .2 预问问题的具体操作过程2 .1 鼓励学生问问题著名教育家陶行知先生曾说 :“发明千千万 ,起点是一问 .禽兽不如人 ,过在不...
  • “概念、模型、转化、确认、反思”数学学习“十字诀” 免费阅读 下载全文
  • 笔者通过近 2 0年的教学探讨 ,提炼出“概念、模型、转化、确认、反思”五个必须注意的学习方法 .现整理成文 ,就教于大家 .1 概念这里所说的“概念”,统指数学的基本事实、基本原理、基本概念、基本方法、基本规则 .对概念的学习 ,(1 )要通过具体事物感知 ,形象思维 ,即用生活中的常识——“意象”刻划、描述之 ,使学生如鱼得水 ,于潜移默化中形成数学观念与数学直觉 .(2 )要对“意象”进行精微化 ,因为概念认识的形成是一个渐进的过程 ,正如“盲人摸象”用一组常识 :柱子、绳子、墙——不断精微“大象”的概念一样 ,它是概念学习的支点 ,是认识动态过程中相对静止的暂时状态 .正是由于这些支点 ,概念才得以暂时定位 ,认识活动才得以呈连续性的进行 .(3)概念在某一阶段定位后 ,主体的知识呈“假性扩张”状态 ,要不断给予刺激、补充、巩固、深化 ,在应用中学习概念 .比如概念的辨析、习题的训练、过程的反思等 ,并及时回到概念上去 .教师的教与学生的学都要基于问题的具体情境 ,注重概念的“意象化”,多角度、多层次地理解概念 ,形成一棵“概念树”,便于理解、记忆、迁移、激活、运用 .2 模型所谓的“模型”,统指数学...
  • 高中数学总复习中的“切大块” 免费阅读 下载全文
  • 近年来 ,我们在数学总复习中 ,积极钻研探索 ,经反复尝试和不断改进 ,已逐步总结得到一种具有鲜明特色的新途径 .这种新途径可称得上是全新创意、全新举措 .新创意、新举措的最主要特点就是整章齐下 ,即“切大块”.1 “切大块”与传统复习方法之比较高考数学试题十分重视对学生能力的考查 ,而这种能力是以整体的、完善的知识结构为前提的 .文 [1]明确指出 :“试题注意数学各部分内容的联系 ,具有一定的综合性 .加强数学各分支知识间内在联系的考查 .……要求考生把数学各部分作为一个整体学习、掌握 ,而不要机械地分为几块 .这个特点不但在解答题中突出 ,而且在选择题中也有所体现 .”我们“切大块”的创意和举措就是在这种思想的指导下应运而生的 .传统的数学总复习是将各章划分为若干课时 ,一个课时一个中心议题 ,我们称之为“切小块”.“切小块”虽然也有它的可取之处 ,但其不足也是明显的 .第一 ,它将完整的知识结构切碎了 ,拆散了 ,不利于形成完整的知识体系 ;第二 ,“切小块”受制于每个课时的长度 ,而各个议题的容量并不都是相等的 ,那么在复习中势必将短的拉长 ,将长的截短 ,难以做到重点突出 ;第三 ,“切小块”时 ...
  • 新题征展(12) 免费阅读 下载全文
  • A.题组新编1.关于 x的方程 |2 x - 4 |- ax - b =0 ,( 1)对于任意 a∈ R,当且仅当 b∈  时恒有实数解 ;( 2 )当且仅当  时恰有两个实数解 ;( 3)当且仅当  时有无穷多实数解 ;( 4 )当且仅当  时无实数解 .2 . ( 1)过一定点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有  条 ;( 2 )与一定圆相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有  条 ;( 3)若与定圆相切且在两坐标轴上的截距相等的直线恰有 3条 ,则定圆的位置特征是   .(第 1~ 2题由曹大方供题 )3.在射线 OQ上取长度为 2 p的线段 OP,一动点M满足∠ MOP =θ,∠ MPQ =arctg( 12 tg 2θ) ,0 <θ <π4 .( 1)建立适当的平面坐标系 ,求动点 M的轨迹方程 ,并说明曲线名称 :( 2 )延长 MP到 N ,且使 ON⊥ OM,证明点 N也在( 1)中取消范围限制后点 M的轨迹上 .B.藏题新掘4 .设 z∈ C,则由 z,z,zz,|z|,|z|,|z|2 ,|z2 |,z2 ,z2 所组成的集合 ,最多可含有的元素个数为 (   ) .  ( A) 4  ...
  • 解答复数问题的若干技巧 免费阅读 下载全文
  • 复数问题涉及知识面广 ,运算复杂 ,对能力要求高 .若能总结归纳其变化规律 ,掌握解答复数问题的方法和技巧 ,定会收到事半功倍之效 .笔者在教学过程中总结了 8种技巧 .1 巧用 z =z z∈ R解题例 1 设复数 z满足等式 |z - i|=1,且 z≠ 0 ,z≠ 2 i,又复数 w使得 ww - 2 i.z - 2 iz 为实数 ,问复数w在复平面上所对应的点 Z的集合是什么图形 ,并说明理由 .解 ∵  ww - 2 i.z - 2 iz ∈ R,∴  ww - 2 i.z - 2 iz =( ww - 2 i.z - 2 iz )=ww +2 i.z +2 iz   w( w +2 i)w( w - 2 i) =z( z +2 i)z( z - 2 i)     w =z.∵   |z - i|=1  ( z≠ 0 ,z≠ 2 i) ,∴   |w - i|=1  ( w≠ 0 ,w≠ 2 i) .故复数 w的对应点 Z的集合是以 ( 0 ,1)为圆心 ,以 1为半径的圆 (去掉点 ( 0 ,0 )、( 0 ,2 ) ) .例 2 设 z =a +bi ( a、b∈ R) ,若 z1+z2 为...
  • 要善于比较 免费阅读 下载全文
  • 比较法是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法 ,是数学思维最基本方法之一 .本文就此问题阐明自己的一点见解 .1 比较正与反 ,加深对概念的理解正确理解概念 ,这是数学学习的基础 ,也正是数学教学中极待加强的薄弱环节 .其原因之一是缺乏比较 ,对“什么是正确的 ,对在何处 ?什么是错误的 ,错在何处 ?”没有深入理解 ,满足对概念的表面现象的了解 .但若通过正反面的强烈对比 ,则对概念的理解必将更完整 .例 1  (1 )在关系式 y =x - 3+2 - x中 ,y是否为 x的函数 ?(2 )设 M ={x| 0≤ x≤ 2 },N ={y| 0≤y≤ 2 },给出下列四个图形 ,其中能表示集合M到 N的函数关系有哪几个 ?1     2     3     4分析  (1 )粗看起来 ,是 y关于 x的函数关系式 .然而在函数定义中指出函数的定义域、值域必为非空数集 ,在此关系式中 ,x∈ ,y不是 x的函数 .(2 )必须严格按函数定义 ,才能对四个图形作出判断 .对于 1 ,M有部分元素 (1
  • 三角形正则点的一个性质 免费阅读 下载全文
  • 本文给出三角形正则点一个基本性质 :定理 设点 Z在△ ABC三边上的射影分别为D、E、F,则△ DEF为正三角形的充要条件是 Z为△ ABC的正则点 .证明 如图 6,设 Z关于 BC、CA、AB对称点分别是 Z1、Z2 、Z3,则 D、E、F分别是 ZZ1、ZZ2 、ZZ3中点 ,∴  DE =12 Z1Z2 ,图 6EF =12 Z2 Z3,F D =12 Z3Z1,因此 ,△ DEF为正三角形的充要条件是△ Z1Z2 Z3为正三角形即 Z为正则点 .这样 ,关于△ ABC正则点的有关问题就可以化为点的垂足三角形问题的讨论三角形正则点的一个性质!241000$安徽师范大学@胡炳生
  • 不等式研究成果集锦(7) 免费阅读 下载全文
  • 73.ma、mb、mc分别为△ ABC三边 a、b、c的中线 ,则    ∑ maa ≤ ∑bc .∑a22 abc ,当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .(褚小光 .1999,1)74 .△ ABC三边为 a、b、c,ma、mb、mc,R,r,s分别为△ ABC的中线 ,外接圆半径 ,内切圆半径和半周长 .若△ ABC为锐角三角形 ,则∑ambmc≥ s4 ( 4 s2 - 2 1Rr +6r2 ) ,并由此推出以下各式 :( 1) ∑ambmc≥ 23s3;( 2 ) ∑a( mb+mc) 2≥ ∑a .∑a2 ;( 3) ∑bcma ≥ 4 39s3. (褚小光 .1999,1)75.设△ ABC各角均小于 12 0°,F为△ ABC的Fermat点 .ta、tb、tc分别为△ ABC的角平分线 ,则34 ( ∑AF) 2≤ ∑t2a.(褚小光 .1999,1)76.△ ABC三边长为 a、b、c,其对应边上的中线、角平分线分别为 ma、mb、mc,ta、tb、tc.( 1)若△ ABC为任意三角形 ,则ta( mb+mc)≤ 12 s( b +c)当且仅当 b =c时取等号 .( 2 )若△ AB...
  • 用方差的一个推论解竞赛题 免费阅读 下载全文
  • 若一组数据的个数是 n,则它们的方差是S2 =1n[(x21+ x22 +… + x2n) - nx2 ],其中 x =1n(x1+ x2 +… + xn) ,这是众所周知的 ,由它易得推论  n(x21+ x22 +… + x2n)≥ (x1+ x2 +… + xn) 2 .证明 ∵  S2 ≥ 0 ,故有  (x21+ x22 +… + x2n) -n(x1+ x2 +… + xnn ) 2≥ 0 ,即  n(x21+ x22 +… + x2n)≥ (x1+ x2 +… + xn) 2 .在解答有关竞赛题时 ,若有目的有意识地运用它 ,则可收到事半功倍之效果 .1 证不等式例 1 已知 x + y + z =1 ,求证 :x2 + y2 + z2 ≥ 13.(前苏奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题 )证明 由题设及推论知3(x2 + y2 + z2 )≥ (x + y + z) 2 =1 2 ,∴  x2 + y2 + z2 ≥ 13.2 解方程例 2 设 x、y、z是实数 ,解方程组2 x + 3y + z =1 34x2 + 9y2 + z2 - 2 x + 1 5 y + 3z =8212(1 992年...
  • 浅谈例题类型设计 免费阅读 下载全文
  • 在当前的素质教育中 ,要努力减轻学生过重的负担 ,避免“题海战术”困扰的重要一环就是科学设计、精心安排例题的教学 .经过多年的例题教学实践和探索 ,笔者认为实际教学中 ,设计不同类型的例题组织教学 ,有利于学生深化知识、突破难点、发展思维 ,培养创新能力 .下面就 5种类型例题的设计谈一点体会 .1 设计边讲边练的小例题这一类例题主要是针对新授课的单一知识点而设计 .它不但能把课堂导、学、练有机结合 ,使课堂内容充实 ,气氛活跃 ,学生信息反馈快 ,而且还能促使学生感性认识向理性认识的升华 ,从而使学生掌握的知识不断深化 .这种类型的小例题的最大特点是 :内容单一 ,针对性强 ,题目方式灵活多样 .例如 ,在“复数乘法的几何意义的应用”教学中 ,可设计如下边讲边练的小例题组 ,收到的教学效果颇佳 .例 1  1已知向量 OZ1→ 所表示的复数Z1=2 ( cos 60°+sin 60°) ,将向量 OZ1→ 按逆时针方向旋转 10 5°,并将长度变为原来的 32 倍 ,得到向量 OZ→ ,求 OZ→ 所表示的复数的一个辐角和模 .并用三角形式表示该复数 .2在上述条件下 ,向量 OZ→ 所表示的复数 Z与Z1...
  • 四面体的内心和旁心的坐标公式 免费阅读 下载全文
  • 笔者在文 [1]中给出了三角形特殊点的一般坐标公式 ,本文将给出四面体的内心和旁心的坐标公式 .四面体的内切球心是和各面的距离相等的一点 ,它是各二面角的平分面 (共 6个 )的交点 .引理 四面体的二面角的平分面与对棱的交点把对棱分成两段的比等于该二面角的两面面积的比 .证明 如图 1,四面体 ABCD中 ,二面角B— AD— C的平分面ADP1交对棱 BC于 P1,我们将证明 BP1P1C=S3S2 .  1图 1其中 S2 、S3是顶点 B、C的对面的面积 .类似地 ,顶点 A、D的对面的面积用 S1、S4 表示 .令 P1到面 S3、S2 的高为 h3、h2 .∵  BP1P1C=VB— ADP1VC— ADP1=VP1— ABDVP1— ACD =13S3.h313S2 .h2.∵  h3=h2 , 故   BP1P1C=S3S21得证 .类似地 ,可证四面体的二面角 BD、CD、AC、AB、BC的平分面 BDP2 、CDP3、ACP4 、ABP5、BCP6交对棱于 P2 、P3、P4 、P5、P6,它们依次把各棱分成二段的比分别为CP2P2 A=S1S3,   2    AP3P3B=S2S1,3...
  • 数学奥林匹克讲与练(29)(肖果能)
    “三角形正则点问题”研究集锦 关于三角形正则点研究的新进展综述(王晓萍[1] 金卫雄[2] 孙四周[3])
    寓数学能力的培养于初一的课外活动之中(钱晓英)
    “现值”与“终值”(徐稼红)
    关于三角形正则点的两个命题(梁卷明)
    幂函数定义小议(吴荷芳[1] 解发圣[2])
    2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题(理工农医类)及解答
    一个定理的简证(梁卷明)
    问题与活动——课堂教学的核心(石志群)
    编程解有关等差数列的问题(邓宏钧 吴龙凯)
    关于三角形的一个性质(刘步松)
    三角形另一正则点存在性的证明(向国华)
    一个不等式的证明(岑文)
    用基本不等式解一道(新课程卷)高考试题(宋庆)
    借助波利亚解题思想 促进数学素质教育(沈南山)
    110 正弦定理的发现(邵琼[1] 程金元[2])
    三角“条件求值”问题的一些解法(门德荣)
    立体几何常见图形变式解题例谈(廖顺宏)
    中外中小学数学教育的几点比较(张忠诚 徐子仪)
    预问问题教学简介——数学创新教育初探(王佳文)
    “概念、模型、转化、确认、反思”数学学习“十字诀”(黄毅 胡清武)
    高中数学总复习中的“切大块”(黄安成)
    新题征展(12)(梁开华[1] 曹大方[2])
    解答复数问题的若干技巧(黄立俊)
    要善于比较(金明烈)
    三角形正则点的一个性质(胡炳生)
    不等式研究成果集锦(7)(杨学枝)
    用方差的一个推论解竞赛题(玉邴图)
    浅谈例题类型设计(张黎庆)
    四面体的内心和旁心的坐标公式(邓胜)
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