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文献检索:
  • 抽象函数试题的类型与求解思路(连堂讲稿) 免费阅读 下载全文
  • [复习说明 ]近几年经常在各地高考模拟试卷中见到一些这样的函数 ,只给出函数符号和条件 ,或给出一些间接关系 ,而没有给出函数的解析式或者图象 ,这样的函数我们叫它为抽象函数 .由于这类试题既能考查函数的概念和性质 ,又能考查学生的思维能力 ,所以受到命题者的青睐 ,可能成为近几年高考试题的新尝试 .本专题将指出抽象函数试题的类型 ,并且着重探讨解证抽象函数问题的思路与策略 .[内容提要 ]有关抽象函数的常见题型是 : .求函数的解析式 ; .求函数的定义域和值域 ; .判别增减性和求最值 ; .判断奇偶性 ; .判别周期性 .虽然抽象函数具有一定的抽象性 ,构思新颖 ,且性质隐而不露 ;其实 ,大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景的 .在这里 ,有一个从具体到抽象 (编题 ) ,从抽象到具体 (解题 )的辩证关系 .解题时 ,若能根据题设中抽象函数的性质寻求抽象函数的特殊模型 ,灵活变通 ,便可寻找到解决问题的突破口 ,其解题策略通常是 :1.利用函数的定义求解 ;2 .利用函数的性质求解 ;3.利用特殊化思想求解 ;4.利用数形结合思想求解 .[范例精讲 ]例 1 已知函数 f(x)...
  • 一道课本例题的潜在价值 免费阅读 下载全文
  • 高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第66页例 2如下 :已知一曲线是与两个定点 O(0 ,0 )、A(3,0 )距离的比为 12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .这一例题 ,如能充分展示其深刻背景 ,纵横拓展 ,便可成为挖掘例题潜在智能价值 ,优化数学解题教学的典型材料 .深化探究 如果一个动点 P(x,y)到两个定点A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )距离的比为λ (λ>0 ,且λ≠ 1 ) ,那么 ,动点 P的轨迹是一个圆 ,方程是   (x - x0 ) 2 +(y - y0 ) 2 =R2 . (1 )其中 ,x0 =x1 -λ2 .x21 -λ2 ,y0 =y1 -λ2 .y21 -λ2 ,R =λ|1 -λ2 |. (x1 - x2 ) 2 +(y1 - y2 ) 2 .证明 由 |PA|∶ |PB|=λ,可得(x - x1 ) 2 +(y - y1 ) 2(x - x2 ) 2 +(y - y2 ) 2=λ,两边平方 ,化简可得(1 -λ2 ) x2 +2 (λ2 x2 - x1 ) x +(1 -λ2 ) y2 +2 (λ2 y2 - y1 ) y =λ2 (...
  • 边长为等差数列的三角形的一个常用结论 免费阅读 下载全文
  • 关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论 在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明 由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴  sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴  a +c=2 b    sin A +sin C=2 sin B   2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2      cos A - C2 =2 sin B2     cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...
  • 三角形内角的三角函数方程 免费阅读 下载全文
  • 文 [1]、[2 ]分别给出了三角形内角的余弦方程和三角形中半角的余切方程和正切方程 ,本文将建立三角形内角的正弦方程 .现将三角形内角的三角函数方程整理如下 ,以便读者参阅 .定理 1[1 ] △ ABC三内角余弦 cos A、cos B、cos C满足方程 :  4R2 x3- 4R(R + r) x2 + (p2 + r2 - 4R2 ) x+ (2 R + r) 2 - p2 =0 . (1)(其中 R、r、p依次是△ ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长 .下同 )定理 2 [2 ]  在△ ABC中 ,ctg A2 、ctg B2 、ctg C2 满足方程rx3- px2 + (4 R + r) x - p =0 . (2 )定理 3[2 ] 在△ ABC中 ,tg A2 、tg B2 、tg C2 满足方程px3- (4 R + r) x2 + px2 - r=0 . (3)下面给出——定理 4 在△ ABC中 ,sin A、sin B、sin C满足方程  4R2 x3 - 4p Rx2 + (p2 + r2 + 4Rr) x - 2 Pr= 0 . (4 )证明 由已知等式 :ctg A2...
  • 对2000年一道高考试题的研究与推广 免费阅读 下载全文
  • 今年全国高考数学理科第 (2 0 )题为 :( )已知数列 { cn} ,其中 cn =2 n + 3n,且数列 { cn+ 1 - pcn}为等比数列 ,求常数 p:( )设 { an}、{ bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn =an + bn,证明数列 { cn}不是等比数列 .这是一道“主要考查等比数列的概念和基本性质 ,推理和运算能力”的好题 .从本校许多考生的信息反馈来看 ,该试题起点低 ,入手宽 ,且具有一定的难度和较好的区分度 .经研究 ,笔者发现该试题所述的两个问题可归结为同一个模型 ,从而可用统一的方法加以解决 .定理 设 a、b、c、r、s、t均为实常数 ,则等式    arn-1 + b sn-1 =c tn-1 (* )对任意的 n∈ N恒成立的充要条件为     a =b=c=0 ;(1)或   a + b=c=0 ,r=s;(2 )或   a =0 ,b =c,s=t;(3)或   b =0 ,a =c,r=t;(4 )或   a + b=c,r=s=t. (5 )证明  (充分性 )逐一验证 (1)~ (5 )知它们均可分别使 (* )对任意的 n∈ N恒成立 ,故“充...
  • 对一个结论的再推敲 免费阅读 下载全文
  • 笔者在文 [1 ]中介绍了一个不完整的错误的结论——二次方程 f (x) =0 (其中 f(x) =ax2 +bx+c,a、b、c∈ R,a≠ 0 )在区间 (p,q)内至少有一个实根    f (p) .f (q) <0 或 Δ≥ 0p <- b2 a0af (q) >0感谢周祥昌老师在文 [2 ]中指出了原稿的疏漏 ,并补充考虑 (确实应该考虑 )了下列两种直观图示 :图 1但从形到数的转化中 ,文 [2 ]却把上述两个图示依次表述为两个混合组 :f (p) =0af (q) >0  或  f(q) =0af (p) >0其实下列两个图示也分别适合这两个混合组 :图 2而此时与之对应的二次方程 f (x) =0在区间 (p,q)内却没有实数根 .再次校正推敲 ,我们得到完整的结论——二次方程 f (x) =0在区间 (p,q)内至少有一个实根   f(p) .f(q) <0 或 Δ≥ 0p <- b2 a0af (q) >0或 f (p) =0p <- b2 a
  • 三角形线段比中的两个定理及应用 免费阅读 下载全文
  • 本文首先介绍三角形线段比中的两个有用定理 .定理 1 在△ ABC中 ,E为 BC上一点 ,任作一直线分别交 AB、AE、AC于 P、N、Q,若记 BEEC=λ,则PNNQ=λ.APAB.ACAQ.证明 如图 1所示 ,在△ ABE和△ AEC中 ,由正弦定理可得sinα=BE .sin∠ 1AB ,sinβ =EC .sin∠ 2AC . 图 1∵ ∠ 1 +∠ 2 =1 80°, ∴  sin∠ 1 =sin∠ 2 .PNNQ=S△ A PNS△ A QN=12 AP.AN .sinα12 AQ.AN .sinβ=AP.BE.ACAQ.AB.EC,∴    PNNQ=λ.APAB.ACAQ.定理 2 在△ ABC中 ,E为 BC上一点 ,任作一直线分别交 AB、AE、AC于 P、N、Q,若记 BEEC=λ,则AEAN=ABAP+λ.ACAQ1 +λ .证明 如图 1所示 ,由张角定理可得   sin(α+β)AE =sinαAC+sinβAB,   sin(α+β)AN =sinαAQ +sinβAP,∴  AEAC.sinα+AEAB. sinβ=ANAQ.sinα+ANAP.sinβ.又∵  sinα...
  • Fibonacci数列与三道不等式的指数推广 免费阅读 下载全文
  • 著名的斐波那契 (Fibonacci)数列具有以下一个重要性质 :设 F1 =F2 =1 ,Fn+ 2 =Fn+ 1 +Fn,n≥ 1 ,则Fn+ 3 =2 Fn+ 1 +Fn.文 [1 ] [2 ] [3] [4]曾先后涉及到三道不等式 ,笔者发现其字母指数恰按斐波那契数列呈现 .请看 :问题 1  (第 2 6届 USAMO赛题 )证明对所有正实数 a、b、c有(a3+b3+abc) -1 +(b3+c3+abc) -1 +  (c3 +a3 +abc) -1≤ (abc) -1 . (1 )问题 2  (第 37届 IMO预选题 )若 a、b、c为正数 ,且 abc=1 ,求证 :  aba5 +b5 +ab+ bcb5 +c5 +bc+ cac5 +a5 +ca≤ 1 . (2 )问题 3  (《数学教学》1 999年第 2期数学问题478号 )已知 a、b、c∈ R+ ,abc=1 ,求证 :  aba8+b8+ab+ bcb8+c8+bc+ cac8+a8+ca≤ 1 . (3)将上述三个不等式 (1 )、(2 )、(3)作统一整理 :(ab) ca3 +b3 +(ab) c+ (bc) ab3 ...
  • 数学奥林匹克讲与练(30) 免费阅读 下载全文
  • 例题讲解2 33.欧洲及世界排球冠军赛同时举行 ,共有 n个队参赛 ,其中有 k个欧洲队 .比赛只赛一轮 (即每两队之间只赛一场 ) ,以其中欧洲队之间相互比赛的成绩作为产生欧洲冠军队的依据 .结果发现 :欧洲冠军队在欧洲冠军赛中的得分严格地最多 (即比其它每个欧洲队在欧洲冠军赛中的得分至少多一分 ) ,而在世界冠军赛中的得分严格地最少 (即比包括欧洲队在内的每个队在世界冠军赛中的得分至少少一分 ) .求 k的最大可能值 .得分的规则为 :胜一局得 1分 ,败一局得 0分 ,无平局 .解 按排球比赛计分规则 ,每场比赛有1个队得 1分 ,故一轮比赛 ,n个队得分的总和为 C2n =12 n(n - 1) .设欧洲冠军队在世界冠军赛中的得分为 x,在欧洲冠军赛中的得分为y,则 x≥ y.先设 n≥ 7,并且详细地讨论 n为偶数的情形 .当 n =2 l (l≥ 4)时 ,由于欧洲冠军队在世界冠军赛中的得分严格最少 ,故其余(n - 1)队每队的得分均不少于 (x + 1) ,因而有   x + (x + 1) (2 l - 1)≤ 12 .2 l(2 l - 1) =l(2 l - 1) .但 x为整数 ,故由...
  • 从一道高考选择题谈起 免费阅读 下载全文
  • 20 0 0年高考 (夏季 )试题 (11) (文、理 )是 :过抛物线 y =ax2 (a >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 P、Q两点 ,若线段 PF与 FQ的长分别是 p、q,则 1p + 1q等于 (   ) .  (A) 2 a  (B) 12 a  (C) 4 a  (D) 4a1 先看几种简单的解法分析 1 抛物线焦参数 m =12 a(焦参数即焦点到准线的距离 ) ,设 PQ⊥ y轴 ,则| PQ| =2 m =1a,那么| PF| =| FQ| =12 | PQ| =12 a,∴  1p + 1q=2 a + 2 a =4a,应选 (C) .分析 2 不影响一般性 ,把 y轴正方向作为 x轴正方向 ,该抛物线方程化为y2 =2 mx  (m >0 ) ,其中 m =12 a为焦参数 .以焦点 F为极点 ,Fx为极轴建立极坐标系 ,根据圆锥曲线统一方程可知 ,该抛物线极坐标方程为ρ=m1- cosθ.设 P(p,θ)、Q(q,π +θ) ,则  1p+ 1q=1- cosθm +1- cos(π +θ)m =2m,∵     m =12 a,∴  1p + 1q=4a,应选 (C) .由于...
  • 怎样证明曲线(直线)恒过定点 免费阅读 下载全文
  • 1 直线或曲线恒过定点的理论依据1.1 由“y- y0 =k(x- x0 )”求定点众所周知 ,直线方程 y - y0 =k(x - x0 )中 ,如果 M0 (x0 ,y0 )为定点 ,k为参数 ,则可视其为过定点 M0 (x0 ,y0 )的直线系方程 .根据这一道理 ,如果能把含有参数的直线方程改写成 y - y0 =k(x - x0 )的形式 ,这样就证明了它所表示的所有直线必过定点(x0 ,y0 ) .1.2 由“l1 +︻l2 =0”求定点在平面上如果已知两条相交直线 l1 :A1 x+ B1 y + C1 =0与 l2 :A2 x + B2 y + C2 =0 ,则过 l1 、l2 交点的直线系方程是 :  A1 x + B1 y + C1 +λ(A2 x + B2 y + C2 )= 0 , 1其中λ为参数 ,并简写为 l1 +λl2 =0 .根据这一道理 ,可知如果能把含有参数的直线方程改写成 l1 +λl2 =0的形式 ,这就证明了它表示的直线必过定点 ,其定点的求法可由  A1 x + B1 y + C1 =0A2 x + B2 y + C2 =0  解得 .1.3 利用方程理论求定点设所...
  • 例题教学与创新激趣 免费阅读 下载全文
  • 素质教育要求我们教学工作者充分发挥教材的教育功能 ,培养学生的创新意识和提高数学素质 .因此 ,在授课中 ,对例题进行创造性的教学加工 ,既能激发学生的学习兴趣 ,又能激活学生的创造思维 ,成为我们执着追求和努力的方向 .1 求异数学教师都要讲解例题 ,但有些教师照本宣科 ,以为这是“忠实”于教材 ,这对于大多数已预习的学生来说 ,就索然无味了 .心理学家认为“没有丝毫兴趣的强制性学习 ,将会扼杀学生探求的欲望 .”因此 ,引导学生探求异于课本的解法有利于调动学生学习的积极性 ,激发学生的学习兴趣 ,提高教学的效果 ,培养学生的能力 .例 1  (高中代数上册 P2 33例 9)求 sin2 1 0°+cos2 4 0°+sin 1 0°cos 40°的值 .书本的解法 ,学生只要肯预习 ,一看就明 .若教师在教学中另辟蹊径 ,启发 :书本的解法是基于sin2 1 0°、cos2 4 0°、sin 1 0°cos40°诸式 ,降幂、积化和差后 ,可化为正余弦函数的一次式而得出的 .你分析题目的特征又联想到什么呢 ?学生经过联想会说出不同的解题思路 .联想 1  a2 +b2 +ab=(a+b) 2 - ab解...
  • 用二元一次不等式表示平面区域 免费阅读 下载全文
  • 主持人按 数学教学要发展学生的素质 ,要减负增效 ,就要充分发挥数学思想方法的一般性的巨大威力 !就本课来说 ,数学思想方法的一般性 ,本可以在三个层次上表露出来的呢 :第一层次 ,以平行于一轴的任意直线来代替平面 ,这样的直线的任意性 ,其实就已囊括了整个平面了 ;第二层次 ,看作从考虑面 (二维 )退回到先考察某种线 (一维 ) .这在数学上也有着很大的一般性——降维 ;第三层次 ,当两个变量 x、y都在变的时候 ,数学总是设法使其中一个变量暂时固定起来 .目前的教学 ,思想方法的威力还远未发挥出来呢 !什么原因造成的 ,难道不值得反思么 ?!1 创设情境 ,提出问题T:同学们知道 ,xy平面上的直线 l:f (x,y) =x +y - 1 =0把全平面分解成三部分 :不含 l的两个半平面 ,即区域 M、N,和一条共同的边界线 l.T:在 l上任一点的坐标 (x0 ,y0 )都满足方程f(x,y) =0 (即 f(x0 ,y0 ) =0 ) ;反过来 ,以满足f(x,y) =0的解 x =x0y =y0为坐标的点 (x0 ,y0 )都落在l上 .由此 ,我们把 f (x,y) =x +y- 1 =0看作直...
  • 对二次幂平均分割线猜测的解答 免费阅读 下载全文
  • 如图 1 ,P是○.O外一点 ,PT1 和 PT2 分别切○. O于 T1 、T2 ,割线 PAB分别交○.O于 A、B,J为弦 AB上一点 ,PA =a,PB =b.如果 PJ=a2 +b22 (* )则 J称为二次幂平均分割点 .本刊 2 0 0 0年第 3期尹在端老师在《两个几何图形中两条线段的四种平均》一文中猜测 :二次幂平均的分割线是经过 T1 T2 的一条弧 ,但对圆心位置等尚未找到正确的结论 .笔者探索发现 ,上述猜测不正确 ,它的分割线应是一条经过 T1 、T2 的非初等曲线段 .图 1         图 2解 建立如图 2所示的直角坐标系 ,设 P(a,0 ) ,○.O的方程为 :     x2 +y2 =R2 ,1割线 PAB的方程为   x =a +tcosαy =tsinα   (t为参数 ) ,2把方程 2代入方程 1化简整理得   t2 +2 atcosα+a2 - R2 =0 ,3t1 +t2 =- 2 acosα,t1 t2 =a2 - R2 ,(0
  • 面积为素数6倍的海仑三角形 免费阅读 下载全文
  • 边长和面积都是整数的三角形称为海仑三角形 (简记为△H) .文 [1]指出△H 的面积是 6的整数倍 ,但并不是所有正整数的 6倍都可以作为△H 的面积 (如 18就不能 ) .那么哪些正整数的 6倍是△H 的面积 ?这是一个相当困难的问题 .本文讨论了 6的素数倍为△H 面积的问题 ,得出如下结论 :定理 在所有素数的 6倍的集合中 ,只有 12、30、42、6 6、114等共 5个数可以作为△H的面积 .为证明此定理先证明下面两个引理 .引理 1 △H 的内切圆半径不小于 1.证明 设△H 三边长分别为 a、b、c(简记为△H(a,b,c) ) ,则半周长 p =a + b + c2 ,再设 x =p - a,y =p - b,z=p - c.不妨设 x≤ y≤ z,则有 x≥ 1,y≥ 2 ,z≥ 3 (由文 [1]中定理 2易得此结论 ) .设△H 内切圆半径为 r,则有xyz=(x + y + z) r2 ,所以 (x + y) r2 =(xy - r2 ) z≥ 3(xy - r2 ) .移项整理  (x + 3) r2≥ (3x - r2 ) y.若 3x - r2≤ 0 ,则 r2≥ 3x≥ ...
  • 一类函数的最值问题 免费阅读 下载全文
  • 文 [1]利用函数的单调性讨论了 xn + px和 x + pxn 在 R+上的最值问题 ,其结论可归述为定理 1 设 m、n∈ N ,p、x∈ R+ ,则函数f(x) =xm + px 在 x =(pm) 1m + 1 处取得最小值 ,而函数 g(x) =x+ pxn 在 x =(np) 1n+ 1 处取得最小值 .本文将进一步利用算术—几何平均值不等式讨论此类函数的一般形式的最值问题 .定理 2 设 m、n∈ N ,p、x∈ R+ ,则函数φ(x) =xm + pxn 在 x =(npm) 1m + n 处取得最小值 .证明 由算术—几何平均值不等式 ,得 φ(x) =xm + pxn=xmn +… + xmnn个+ pmxn +… + pmxnm个≥ (m + n) [(xmn) n .(pmxn) m]1m + n=(m + n) (pmmmnn) 1m + n.当且仅当xmn=pmxn,即 x=(npm) 1m + n 时等号成立 .显然 ,f(x)和 g(x)均是φ(x)的特款 .定理 3 设 A、B、s、t、x∈ R+ ,则函数Ψ (x) =Axs+ Bx-t在 x=(BtAs) 1s+ t处取...
  • 新题征展(13) 免费阅读 下载全文
  • A.题组新编1 .由数字 1 ,2 ,… ,7,8组成的没有重复数字的四位数中 :(1 )奇数一定在奇数位置上的四位数有  个 ?(2 )奇数位置上的数一定是奇数的四位数有  个 ?2 .在平面直角坐标系中 ,(1 )方程x2 +y2 +6x - 2 y +1 0 =|x - y +4|2表示的曲线是   ;(2 )方程x2 +y2 +6x - 2 y +1 0 =12 |x - y +3|表示的曲线是   ;(3)方程x2 +y2 +6x - 2 y +1 0 =|x - y +3|表示的曲线是   ;(4)方程x2 +y2 +6x - 2 y +1 0 =12 |x - y +3|表示的曲线是   . (第 1~ 2题为张文俊供题 )3.已知圆 O1 :(x +r) 2 +y2 =r2 (r>0 ) ,则(1 )与圆 O1 相切 ,又过点 O2 (r,0 )的动圆圆心 M的轨迹是   ;(2 )与圆 O1 外切 ,又与圆 O2 :(x - r) 2 +y2 =9r2内切的动圆圆心 M的轨迹是   ;(3)与圆 O1 外切 ,又与 y轴相切的动圆圆心 M的轨迹是   . (舒敬华供题 )B.藏题新掘4.异面...
  • 两道代数名题的新证与推广 免费阅读 下载全文
  • 引理 数列 { Tn}若有初始条件T1 =m1 ,T2 =m2 ,且有递推式  Tn =(x + y) Tn-1 - xy Tn-2(x、y、m1 、m2 是常数 ,且 x≠ y) ,则其通项公式为   Tn=(m2 - m1 y) xn-1x - y -(m2 - m1 x) yn-1x - y . (* )证明 由 Tn=(x + y) Tn-1 - xy Tn-2 得   Tn - x Tn-1 =y(Tn-1 - x Tn-2 ) .反复应用此式得  Tn- x Tn-1 =y(Tn-1 - x Tn-2 )=y .y(Tn-2 - x Tn-3 ) =…=yn-2 (T2 - x T1 ) =yn-2 (m2 - m1 x) ,即  Tn - x Tn-1 =yn-2 (m2 - m1 x) ,(1)同理得 Tn- y Tn-1 =xn-2 (m2 - m1 y) . (2 )(1) .y - (2 ) .x整理即得 (* )式本文运用上述引理给出两道代数名题以新证 ,并将其推广 .第 9届 IMO第 6题是 :某次运动会相继开了 n (n >1)天 ,共发出奖章 m枚 .第一天发出奖章一枚又余下的...
  • 简化运算的几种途径 免费阅读 下载全文
  • 运算能力是中学数学要求培养的四大能力之一 ,高考中每年必考 .纵观历年高考 ,考生由于运算出错而丢分的情形屡见不鲜 ,笔者认为无论是对运算对象的分析 ,运算方法的选择 ,还是对运算过程和运算结果的预见都直接影响运算的成功与否 .本文通过例题提出简化运算过程的六大途径 ,供大家参考 .1 整体代换 ,简化运算通过对表达式的结构进行分析 ,利用代换对表达式进行化简 ,让式子的结构特征更为明朗 .例 1 求函数 y=2 - x21- x2 + 1的值域 .解 令 t=1- x2 + 1,则t∈ [1,2 ],  x2 =2 t- t2 ,所以  y =2 - 2 t+ t2t =(t+ 2t) - 2 .由此容易得到此函数的值域是[2 2 - 2 ,1].例 2 设对于所有实数 x,不等式x2 log24(a + 1)a + 2 xlog22 aa + 1+   log2(a + 1) 24a2 >0恒成立 ,求实数 a的取值范围 .解 令 log22 aa + 1=t,则原不等式化为(3 - t) x2 + 2 tx - 2 t>0 ,此不等式恒成立 ,故3 - t>0(2 t) 2 + 8t(3 - t) <0...
  • 抛物线(有公共点的)两垂直弦的性质 免费阅读 下载全文
  • 主持人按 目前中学数学课堂上流行的教法是 :借助于现代化手段 ,题目一个接一个 ,一节课要讲1 0多乃至 2 0来个题目 ,所谓的高密度大容量 ,学生的头脑始终处在高速运转之中 ,应接不暇的自大有人在 .一些人相信这就是“高效率”;许多人则认为非如此训练不足以应付未来的大题量的考试 .本课的设计只环绕着一个中心来进行 ,步步诱导 ,层层深入 ,多角度多侧面地启发学生来进行探索 .由于问题集中 ,方法相近 ,一个问题的深入探讨 ,相当于一种强化巩固 ,也是教学的反馈 ,许多老师还是愿意经常上一点这样的课 .北京 2 2中的孙维刚老师就明确主张 :“题不在多而在精”;教学中“让学生真正做课堂的主人”;“正确对待做题 ,一题多解 ,多解归一 ,多题归一 .”(见香港李嘉诚先生创意推出的《知识改变命运》一书中对孙老师的推介 ) .孙老师的方向 ,是很值得学习与研究的 .这一课 ,我们来探讨如下一个例题 :“过抛物线 y2 =x的顶点 O作互相垂直的两弦 OA⊥ OB.求证 :直线 AB恒过一定点 .”教师提出的第一个问题 :关于这一定点的位置特征 ,你发现了什么没有 ?S1 :抛物线 y2 =x关于 x轴是对称的 ....
  • 浅谈三角函数式的变形 免费阅读 下载全文
  • 应用三角函数知识解决的各种问题 ,都离不开三角函数式的恒等变形 .熟练掌握三角公式的原型 ,熟悉三角公式的变形 ,并灵活地运用三角公式进行恒等变形是提高解决数学问题能力的一个重要方面 .例 1 求证 :12 tg x2 +12 2 tg x2 2 +… +12 ntg x2 n     =12 nctg x2 n - ctg x.证明 ∵  tgα=1 - (1 - tg2α)tgα=ctgα- 2 ctg 2α,∴ 左边 =12 (ctg x2 - 2 ctg x) +  12 2 (ctg x2 2 - 2 ctg x2 ) +12 3(ctg x2 3- 2 ctg x2 2 )  +… +12 n(ctg x2 n - 2 ctg x2 n-1 )=12 nctg x2 n - ctg x =右边 ,∴ 原等式成立 .注 :例 1的证明采用的是“裂项求和法”,导出裂项公式 ctgα - tgα=2 ctg 2α是解决问题的关键 .例 2 设f(x) =1 +cosx +cos2 x +cos3x1 - cosx - 2 cos2 x ,若 sinθ- 2 cosθ=2 ,求 f(θ)的值 .解  f(...
  • 一个值得商榷的问题 免费阅读 下载全文
  • 复合函数是中学数学教学中最常见的一种初等函数 ,对已知复合函数求原函数的定义域问题 ,在书刊中写法不一 ,给中学数学教学带来困惑 ,是一个值得商榷的问题 .1 问题提出若 f [φ(x) ]=g(x) ,那么习惯上称 f (x)为外层函数 (或原函数 ) ,φ(x)为内层函数 (或中间函数 ) ,而 f[φ(x) ]即 g(x)称为 f(x)与φ(x)复合而成的复合函数 .例 1 若 f (x) =x2 - 1,φ(x) =1- x2 ,求 f [φ(x) ].解  f [φ(x) ]=(1- x2 ) 2 - 1=x4- 2 x2 ,∴  f [φ(x) ]=x4- 2 x2 (x∈ R) .例 2 若 f [φ(x) ]=x4- 2 x2 且φ(x) =1- x2 ,求 f (x) .解法 1 令 1- x2 =t,则    x2 =1- t(t≤ 1) ,f (t) =(1- t) 2 - 2 (1- t) =t2 - 1,∴  f (x) =x2 - 1(x≤ 1) .解法 2  f [φ(x) ]=x4- 2 x2 ,即  f [φ(x) ]=(1- x2 ) 2 - 1.又 已知φ(x) =1- ...
  • 三角形费尔巴哈定理的解析证明 免费阅读 下载全文
  • 费尔巴哈定理 △ ABC的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆都相切 [1 ] .本文介绍这个定理的一种解析几何证法 .     证明 在图 1所示的平面直角坐标系中 ,应用△ ABC三顶点坐标及其六心坐标定理 [2 ]有 :图 1A(y - zy +zxr,2 xyzy +zr) ,内心 I(0 ,r) ,三个旁心  IA((z- y) r,yzr)、 IB((z+x) r,rzx)、IC(- (x +y) r,rxy) .垂心  H(y - zy +zr,(1 - y2 ) (1 - z2 )2 (y +z) xr) ,则 AH的中点K(y - zy +zxr,(1 +yz) 2 - (y - z) 24 (y+z) xr) .又  BC边中点 A′(z- y2 r,0 ) ,九点圆圆心N((y - z) (3- yz)4 (y +z) xr,(1 +yz) 2 - (y - z) 28(y +z) xr) ,九点圆半径为 R2[1 ] .△ ABC边 BC、CA、AB上的旁切圆半径分别记为r A、r B、r C.∵  r(y +z) =r A(1y +1z) , ∴  r A =yzr.同理  r B =zx...
  • 立足基本知识 培养学生能力——谈定比分点公式的应用 免费阅读 下载全文
  • 定比分点公式是解析几何中最基本的概念之一 ,如果我们在进行解几多点共线问题、复数的、不等式的教学时 ,能适时地引导学生灵活地应用或恰当引入定比 ,运用定比分点公式进行坐标变换或推广一些已学过的知识 ,则可以大大地激发学生的学习积极性和主动性 .定比分点公式 若已知两端点为 P1 (x1 ,y1 )、P2 (x2 ,y2 ) .点 P分有向线段 P1 P2 所成的定比为λ,则分点 P的坐标为  x=x1 +λ. x21 +λ ,y =y1 +λ. y21 +λ(或 λ=x - x1 x2 - x=y - y1 y2 - y; λ≠ - 1 ) .图 1如图 1 :随着点在直线上的不同分布 ,定比λ的值分布也在变化 .可以从横和纵两个方面考虑 .先从横的方面 (应用 )来看 :1 利用定比分点公式可以在已知端点、分点时求定比 ,或已知定比、端点时求分点坐标 ,或已知一端点、分点、定比时求另一端点等只要是题目中有共线的线段之比时 ,常要用到定比分点公式 .例 1 如图 2 ,已知梯形 ABCD中 ,|AB| =2 |CD|,点 E分有向线段 AC所成的比为λ,双曲线过C、D、E三点 ,且以 A、B为焦点 .当 23...
  • 谈在数学教学中落实素质教育的两个问题 免费阅读 下载全文
  • 自中央颁布《关于深化教育改革 ,全面推进素质教育的决定》以来 ,“素质教育”成为热点话题 ,而且在“为何进行素质教育”、素质教育的内容、方法等方面 ,确实进行了较为深入的、有益的讨论 .本文就在数学教学中 ,落实素质教育的两个问题 ,作一些探讨 .1 在数学教学的全过程中 ,注意落实素质教育大家知道 ,经过一段时间的讨论和实践 ,就“学科教学中的课堂教学是素质教育的主渠道”的问题 ,达成了共识 ,这是完全正确的 ,但是 ,为开通和充分运用这个主渠道 ,还有许多工作要做 .比如 ,就数学教学来说 ,它的“全过程”包括 :对教学班进行适当的组织加工和对学生进行学法培训 ;备课要进行宏观、微观、情境三个层次的教学设计 ,上课、作业处理、辅导、测试评价等等 ,每个环节都有实施素质教育的问题 .我们知道 ,由于涉及到人 ,“教学系统”是个开放的复杂的系统 ,数学教学过程就是对这个系统的一个控制过程 .然而 ,只有具有良好的、有序的系统才是可控的 .一个教学班 ,它的教学效益 (即系统功能 ) :X =∑ + J由两部分构成 :一是各子系统 (每个学生功能的和∑,另一个是它的结构功能 J(如纪律状况、学风、有无小先生等等...
  • 加强阅读教学 提高学习能力 免费阅读 下载全文
  • 数字时代的知识时刻在更新 ,学校和教师显然不可能为学生准备足够的生存与发展所需要的知识 ,但必须而且能够使学生具备不断获取新知的能力——学习能力 .而阅读是学习的重要途径之一 ,因此 ,阅读能力是学生可持续发展能力的重要标志 .但在当前的数学教育中 ,阅读能力的培养还未得到足够重视 .笔者曾对高二年级的 1 1 0名学生进行问卷调查 ,结果 89的同学认为习惯并基本能读懂文科材料 ,而习惯并基本能读懂数学材料的还不到 30 ,可见数学阅读能力的严重滞后 .因此 ,数学阅读教学应作为数学教育工作的重要组成部分摆上议事日程 .笔者认为数学阅读教学要注意以下 4个方面 :1 .尽可能留给学生阅读数学的机会和充分的时间 .在可以提供材料的情况下 ,完全可以把阅读作为数学 (课堂 )教学的第一步 ,提供足够的时间 ,使学生慢慢养成阅读数学的习惯 .这样做 ,学生的做题时间会受到冲击 ,但笔者的近 2 0年教学经历表明 ,学生在最后的高考中并不会败北 .2 .指导学生数学地把握阅读环节 .笔者认为“层次、结构、概括”是阅读数学的基本环节 .层次 ,指对阅读材料的层次析出并逐层进行意义剖析 .结构 ,指理顺各层之间的关...
  • 谈情感数学教育 免费阅读 下载全文
  • 1999年 10月《国家数学课程标准研制工作研讨会纪要》中指出 ,我国数学教育当前存在的问题主要表现为学生的创新精神、实践能力差 ,数学学习的方式单一、被动 ,数学学习的情感体验消极等 .造成这些问题的原因是多方面的 ,有教育观念、教育管理体制、考试制度和社会用人制度等原因 ,也有来自课程、教材和教师等方面的问题 .情感教育是调动学生非智力因素的最有效而持久的良方 ,也是教师应注重体验的教学方法 .本文就数学教育中如何注重情感教育谈几点浅见 .1 找内力情感能撞击学生内心深处的火花 ,产生学习动力 .向学生讲未来国家建设和科技发展都需要数学 ,数学有许多美的东西 ,来源于实际又服务于实际 ,这就需要我们去观察、计算、数据处理 ;将来的就业充满了数学应用 .为此 ,我们要注重在数学课上培养代数计算能力、抽象分析能力、数学建模能力、数学审美能力及探求创造能力等 ;平时 ,我们做学生思想政治工作时 ,都要注意激发内力 ,才能起到较好的“疗效”;每节数学课都要情系学生学习的积极性 ,培养学习兴趣 ,唤起学生积极情感是驱动认知之舟破浪远航的发动机和螺旋桨 .日常我们激发学生的好奇心 ,培养学生的求知欲是找内力的主要途径...
  • Morley定理的更简证明 免费阅读 下载全文
  • 近年 ,我们对 Morley定理的研究日深 ,证明日简 ,本文给出一个仅用几行文字的证明 ,供大家赏析 .Morley定理 如图 1,任意△ ABC每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正△ DEF.图 1         图 2证明 如图 1,设 A =3α,B =3β,C =3γ,如图 2 ,又构造凹六边形A′F′B′D′C′E′且使其各内角为如图中所示的参数[2 ,4] ,再延长 B′D′与 C′D′交直线 E′F′于点 E2 、F1[1 ] ,连 B′F1 、C′E2 ,则∠ E′F1 C′=β,∠ F′E2 B′=γ,故显然点 B′、D′、F′、F1 共圆 ,点 C′、D′、E′、E2共圆 ,∴ ∠ F1 B′E2 =∠ D′F′E′=6 0°=∠ D′E′F′=∠ F1 C′E2 ,故 点 B′、C′、E2 、F1 共圆 ,∴ ∠ E2 B′C′=∠ E2 F1 C′=β,∠ F1 C′B′=∠ F1 E2 B′=γ.同理可证 ∠ F′B′A′=β,∠ F′A′B′=α;∠ E′C′A′=γ,∠ E′A′C′=α,再对照图 1与图 2便知图 1中的△ DEF也是正三角形 [2 ] .证毕 !Morl...
  • 《中学数学》封面

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