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文献检索:
  • 函数图象成中心对称的几个结论 免费阅读 下载全文
  • 1997年(文科第7题)、1998年(理科第19、24题)、1999年(理科第6题)连续三年的高考试题均涉及到了函数的图象或方程的曲线的对称问题,这说明以“对称”为载体的数学问题是高考命题者所关注的内容.由于对称的问题将函数的图象、性质,图象的几何变换(如平移、对称等)、抽象的逻辑推理及用代数的方法研究图象的性质等融于一体,故而这一点又是学生学习的重、难点之一.为此,笔者给出下面的几个结论,以期对同学们的学习有所帮助.命题1 函数y=f(x)对任意的实数x,都有f(x)+f(a-x)=b成立的充要条件是其图象关于点A(a2,b2)成中心对称图形.证明 设点P(x0,y0)是y=f(x)的图象上任意一点,则 y0=f(x0).若f(x0)+f(a-x0)=b,又设P关于点A的对称点为P′(x′,y′),则x′=a-x0,y′=b-y0.∴ f(x′)=f(a-x0)=b-f(x0)=y′,这说明点P′在y=f(x)的图象上.从而y=f(x)的图象关于点A成中心对称.反之,若y=f(x)的图象关于点A成中心对称,则点P(x0,y0)、P′(a-x0,b-y0)都在其图象上,∴ b-y0=f(a-x0),∴ f(x...
  • 中考函数题中常见的解题错误 免费阅读 下载全文
  • 对初中学生来说,函数的有关问题,比较抽象,有些题的综合性也比较强,因而解题时容易顾此失彼,是似而非犯错误,常见错误有以下几点.1 忽视自变量的取值范围例1 (1998年淮阴初中毕业试题)如图1,在△ABC中,AC=10,AB=6,∠A是锐角,且cosA是方程5x2+6x-8=0的一个图1根.(1)求cosA的值;(2)若动点P在AB上移动,并以PC为斜边向△APC的形外作等腰直角△PCQ,设AP=x,S△PCQ=y,求y与x之间的函数关系式;(3)求函数y的最小值.错解 (1)解方程5x2+6x-8=0得x1=45,x2=-2(舍), ∴ cosA=45.(2)在等腰Rt△PCQ中,设CQ=PQ=t,则CP=2t.∵ S△CPQ=12CQ.PQ=12t2,∴ y=12t2  t2=2y.在Rt△CAM中,AM=AC.cosA=10×45=8,  ∴ CM=AC2-AM2=102-82=6.∵     AP=x,∴ PM=AM-AP=8-x.在Rt△CPM中,∵ CM2+PM2=CP2,∴ 62+(8-x)2=(2t)2 x2-16x+100=2t2,∴ 4y=x2-16x+100 y=14x2-4x+25.(...
  • 广义凸函数的简单性质 免费阅读 下载全文
  • 设xi>0,pi>0(i=1,2,…,n),规定Mrn(xi,pi)=∑ni=1pi.xi∑ni=1pi1r,0<|r|<+∞时,∏ni=1xipi1∑ni=1pi,r=0时.设正值连续函数f(x)定义在区间IR+上,如果对于任意x1、x2∈I和p1>0,p2>0,有  Mr2[f(xi),pi]≥f[Mr2(xi,pi)],(1)或 [p1p1+p2.fr(x1)+p2p1+p2.fr(x2)]1r ≥f[(p1p1+p2.xr1+p2p1+p2.xr2)1r],当r≠0时, (2)或 [fp1(x1).fp2(x2)]1p1+p2 ≥f[xp11.xp22)1p1+p2],当r=0时,(3)则说f(x)在区间I上是广义下凸的.如果(1)式中等式当且仅当x1=x2时成立,则说f(x)在I上为广义严格下凸的.如果(1)(或(2)与(3)式中不等号反向,则说f(x)在I上为广义(严格)上凸的.显然,取p1=p2=12,r取特殊值时,有r=1时,(1)式变为f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22),此时称f(x)为“算术下凸”的;r=0时,(1)式变为f(x1).f(x2)≥f(x1.x2),此时说f(x)为...
  • 2000年日本著名大学入学考试试题选编 免费阅读 下载全文
  • 应日本数学教育学会会长杉山吉茂先生的邀请,我参加了2000年7月31日~8月6日在东京召开的第9届世界数学教育大会(ICME—9).大会期间,参观了日本的一些著名大学、中学,并搜集到了日本著名大学2000年入学考试试题.现从中选出复数部分适合我国高考的几道试题,翻译出来,并给出略解与点评,供广大教师、研究人员、学生参考.1.若z=cos144°+isin144°,则z5=  .于是,z是4次方程式  的解.设z+1z=x,则上述方程变为关于x的二次方程式  ,解这个二次方程,其解为  与  .由此,cos144°=  .半径为1的圆内接正五边形的边长的平方等于  .(立命馆大学)略解 7个空依次填:1,z4+z3+z2+z+1=0,x2+x-1=0,-1-52,-1+52,-1+54,5-52.点评 这是一道填充题.日本的高考分两次举行,第一次是全国统一初考(称为NCUUE),试卷全部由用计算机批改的填充题组成.取得成绩后,考生再到各个大学参加第二次考试,这次试题由各大学自行命题,多数是解答题.日本的填充题与我国目前高考中的填空题不同,它一般要填10个左右的空,有时多到20多个,而我国的填空题只填1个空.本题...
  • 辨析一道似是而非的几何题 免费阅读 下载全文
  • 有一道题:“已知△ABC中,∠C=90°,AD、BE是中线,AD=210cm,BE=2cm,求AB的长”.两个同学用不同的运算方法,却得出了两个截然相反的结论.1 两种解法解法1 连结DE,设CD=xcm,CE=ycm,∵ AD、BE是中线,∴ BC=2xcm,AC=2ycm.而∠C=90°,根据勾股定理得(2x)2+y2=22,x2+(2y)2=(210)2,即  4x2+y2=4,x2+4y2=40,(*)两式相加得 5x2+5y2=44,x2+y2=445,即 DE2=445,DE=2555.又∵ D、E分别是BC、AC的中点,根据中位线定理可得,∴ AB=2DE=4555(cm).解法2 (首先也用同样的假设得到方程组)    4x2+y2=4,x2+4y2=40,12由1得   y2=4-4x2,3把3代入2得 x2+4(4-4x2)=40,整理得   x2=-2415(无解),∴ 本题中的AB长无法求出.2 原因剖析(1)从代数角度分析:“解法1”是运用了整体代换的思想,在求DE2=x2+y2的过程中,把x2+y2=445作为一个整体代入,避开了x、y的根本身是否存在这一问题而得出了结果.其实,这...
  • 对中考命题改革的几点思考——兼评湖北省各市、州近两年中考数学试题 免费阅读 下载全文
  • 义务教育的性质和任务决定了中考命题工作应在有利于学科教学中素质教育的实施,有利于青少年创新意识和创新能力的培养的前提下推进改革.另一方面,大学施行“宽进严出”后,升学竞争的重心逐渐前移,义务教育阶段的升学考试竞争十分激烈.由于普通高中的办学条件、师资水平诸方面的差异,考生仍然希望进入重点高中,接受良好的中学教育,日后考入名牌高校.因此,关系到千万学生切身利益的义务教育阶段的升学考试,其竞争性还是无法避免,中考命题必须适应这种竞争.近几年来,我省各地在升学考试改革中,作出了有益的尝试和探索,取得了一些经验和效果,同时,也给我们留下了一些尚待认真研究的课题.我们的某些经验还未升华为理论而难以推广,效果往往因为缺乏理论的支撑而失去了应有的光泽,中考改革的进展也因理论指导的匮乏,似乎仍在平面上周而复始.特别是,如何提高命题质量;如何体现正确的命题指导思想;如何发挥数学升学考试对实施素质教育的导向作用等一系列关键问题,还必须在理论与实践的结合上,进一步作出理性的思考.笔者参与了湖北省教育厅对所属各市、州的近两年中考数学试卷(题)的评价工作,本文仅就两考合一、中考命题改革的指导思想和改革内容三方面的问题,谈谈自己的初步认...
  • 立体几何距离计算中的一些转化策略 免费阅读 下载全文
  • 距离计算是立体几何中的一个重要内容,学生在遇到有关距离计算时,困难在于无法构造距离,无法寻找与距离相关的一些联系和转化.事实上,一般距离都转化成点线距离,最后都在平面三角形中计算.距离的转化成为难点.距离转化一般有如下形式:异面直线距离转化面面距离线面距离转化点面距离转化点线距离或等积法直接计算其中较困难的是最后一步.我们略举数例,说明距离计算中的一些转化策略.1 异面直线距离的转化例1 已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是边AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求异面直线BD与GE的距离.解 连结BD,由E、F分别为AB、AD的中点,知EF∥=12BD,EF面GEF,∴ BD∥面GEF.故BD与GE的距离为线BD到面GEF的距离.连结AC交BD于O,交EF于H.因GC⊥面ABCD,EF⊥HC,则EF⊥面GHC,而GC⊥面GEF.过O作OK⊥GH,则OK⊥面GEF,∴ BD到面GEF的距离即为O到线GH的距离OK.在Rt△HCG中,OK=sin∠GHC.OH=GCGH.OH=21111.即异面直线BD与GE的距离为21111.总结 BD与GE距离转化BD到面GEF距离转化点O到面G...
  • 新题征展(14) 免费阅读 下载全文
  • A.题组新编1.设P=(log2x-1)log23y-2(3log2x+a).log3y+log2x+1,(1)当x>0且x≠2时,则P=0使y恒存在的实数a的取值范围是  ;(2)当a=0且x∈[1,2]时,则使P>0恒成立的y的取值范围是  ;(3)当a=-3且y∈[3,9]时,则使P<0恒成立的x的取值范围是  .(黄桂君供题)2.设P、Q为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点,且OP⊥OQ,则(1)1OP2+1OQ2=  ;(2)S△OPQ的最大值是  ,最小值是  ;(3)OP2+OQ2最大值是  ,最小值是  .(杨志明供题)3.(1)到不共面四个点等距离的平面有  个;(2)已知不共面的四个点,其中一个点到平面α的距离是其余三个点到平面α距离的一半,则这样的平面α有  个;(3)将以不共面四个点为顶点的四面体体积等分的平面有  个.(黄桂君供题)B.藏题新掘4.把参数方程x=sin6θ+cos6θy=sin8θ+cos8θ(θ为参数)化为普通方程,并说明它表示的平面图形.5.已知极坐标点A(3,π6)、B(1,π2)、C(2,2π3),则△ABC的面积等于  .(第4~5题为杨志明供题...
  • 113组合数的两个性质 免费阅读 下载全文
  • 主持人按 张奠宙先生说:“数学的研究对象是形式化的思想材料,整个数学是一个形式化的思想体系.”“当我们认识到数学是一种形式的时候,更应注意数学所反映的内容,…”本课的设计特点,就是紧密联系形式(组合数的性质)所反映的内容(一个个求组合数的实例)来进行形式的教学.抽象成为形式(及其符号的演算)的数学,既有很大的一般性(从而有它的广泛应用性);也给一些学生带来了领悟与学习上的困难,这是全民义务教育必然会带来的一对矛盾.怎样来消解这一对矛盾?国际上有“非形式化”的通用口号;国内有陈重穆先生的“淡化形式,注重实质”的名文.本设计所提示的密切结合生动的内容来教学某些数学的形式,不也是一条值得发扬光大的佳途么!1 从特例引入形式化的公式T:本节我们来学习“组合数的两个性质”.首先,大家用学过的公式计算一下C15、C25、C35、C45及C14、C34,看有什么发现?S:发现了C45=C15,C35=C25,C34=C14.T:能否写出一个更一般的式子?S:一般地有Cmn=Cn-mn,m、n∈N,m
  • 利用启发式培养学生发散思维能力的一道好题 免费阅读 下载全文
  • 在数学教学中,充分利用教材中已编的题目,挖掘出它们的知识和方法内涵,对于减轻学生学业负担、提高教学质量是很有必要的.笔者曾对《平面解析几何》原教材第126面复习题第24题采用启发思维教学法,从5种不同思维角度引导学生进行分析、观察、思维、联想及解答,体会到这道题是培养学生发散思维能力的一道好题,现将教学中启发思维过程展现出来,仅供参考.题目 过圆外一点P(a,b),引圆x2+y2=R2的两条切线,求经过两个切点的直线方程.图1启发思路1目的:首先引导学生用自然思维程序——即用两点式求直线方程进行翻译、推理、思考.  T:求解该问题的自然思维是什么?S:求过A、B两点的直线方程.T:大家想一想困难是什么?S:A、B两点的坐标没有给出.T:那么能不能把切点A、B的坐标求出来呢?[提问学生甲]:设切点坐标为A(x0,y0),则由OA⊥AP得 y0-bx0-a.y0x0=-1,即   ax0+by0=R2.(1)又 点A适合方程,∴   x20+y20=R2.(2)由(1)、(2)消去y0有(a2+b2)x20-2aR2x0+R4-b2R2=0.(3)(教师此时有意停顿片刻,装出惊讶表情,学生窃窃私语——出现了一元二...
  • 多媒体网络信息化数学教学的实践点滴 免费阅读 下载全文
  • 1 问题的提出教育信息化是未来教育的希望.21世纪是信息时代,需要建设高质量的教育,培养高素质的人才,而素质教育的根本任务是能力的培养.一个没有信息素养的人,将很难在社会中立足,更谈不上对社会、对国家做出贡献.可见素质教育反映了时代和社会的需求,反映了教育规律,很自然就成为世界性的教育改革潮流.本世纪网络信息就象电视、电话一样成为人们生活的一部分.多媒体网络教学模式是未来几年内进行推广的先进教改方向,是不可逆的教育发展潮流.网络信息化教学的宗旨主要是加强学生能力的培养(包括存储能力、检索能力、多媒体表达能力、道德情感能力、协作学习能力、自主学习能力、美感能力).多媒体网络教学模式与传统的课堂教学模式对比,至少具有下列优势:1多重感官刺激,优于单一感官刺激的学习效果.2传输量大,速度快.能在较短的时间内传输、存储大量的语言,图像,影像与信息.3传输质量高,应用范围广.它可涵盖现阶段中学所有课程.4反馈及时.能第一时间了解和掌握学生的动态,及时调整教学节奏.5学生能够真正实现个性化的学习.2 网络信息化教学实践点滴在初一代数第一章《代数初步知识》,我把代数式、列代数式、代数式的值这三节内容作为一个学习单元.第一节...
  • 妙趣横生的歧中易数列——数学建模一例 免费阅读 下载全文
  • 中国古环已有两千余年的历史,《战国策》齐策六记述:秦王遣使入齐,出玉连环,对齐君王后曰:“齐多知,能解此环不?”王后以示群臣,莫能解者,王后随引椎椎破之,谢秦使曰:“谨以解矣”.南宋临安(今杭州)市上,有专售“解玉板之类”的玩具,民间俗语云“解不开,歧中易,卸不下,九连环”.16世纪中叶,“九连环”传入西方.国内外均对它的解法和结构进行了大量研究.特别是近代,中国古环向多方面拓广、变形、演化,形成了以歧中易系列、九连环系列为核心,包括升环、寿环、蛇环、孔明锁等在内的不下40余种,千姿百态,妙趣横生,沈阳街头、不少旅游点有摊贩出售自制的环类玩具,北京崇文出现了专营精美环类玩具的“工艺礼品店”,生意兴隆,天津、沈阳、北京电视台还播放了有关节目.  然而,历来对古环的研究,多限于直观,可言传面授,却难于记录和远播,更无法开发隐于其中的逻辑、组合、拓扑的奥妙.本文通过建立数学模型研究歧中易,不仅弄清了n阶歧中易的求解规律,而且从中发现了若干深刻的数学问题.1 什么是歧中易?如图1所示,即为古传的(一阶)歧中易:图1由梁PQ、套在梁上由连杆相接的两个环h和h′,及挂在杆上的钗H构成.制作尺寸须适当:使梁柄P、Q不能从环...
  • 学生数学学习期待心理探微 免费阅读 下载全文
  • 某次,在教学异面直线之间的距离时,于课末几分钟,笔者有意出了一道较难的习题让学生们思考.结果是全班学生有三种表现:一是集中精力、认真思考,期望作出正确解答;二是虽在思考但显得漫不经心,不想在课堂上作出解答;三是根本不予思考,急切地等待下课.这事实上是对学生进行数学学习的一次心理测试.为了取得较为普遍的结果,我们又对其他班级学生作了相关的测试,取得的结果与上类似.从上述测试与结果可以研究学生数学学习的期待心理.所谓数学学习期待心理,是指学生对自己数学学习活动应达目标的认识的心理活动过程,属于元认知范畴.具有正确期待心理的学生,往往表现为学习主动、思维活跃,能取得较好的学习效果;缺少或很少具有正确期待心理的学生,则表现为学习被动,视学习为负担和苦差事,因而学习热情不够,缺少内驱力,一般不易取得好的学习效果.由此看来,我们数学教师都应针对课堂教学实际,重视培养学生正确的数学学习期待心理.对此,我们有如下几点粗浅做法.1 注重过程教学,培养正确的期待意识现行中学数学教材向学习主体所呈现的数学知识是经过逻辑加工而形成的演绎体系,学生往往难以看到这些数学知识是怎样形成的和其中包含了哪些数学思想方法.因此,根据教材特点,教...
  • 把握命题趋势 搞好三角复习(连堂讲稿) 免费阅读 下载全文
  • [复习说明]1998年春季教育部正式公布了高中数学教学内容的调整意见,使我们对近三年高考中关于三角知识的命题特点愈来愈清晰,即一般不再考单独的三角恒等式证明题与三角函数式化简题,试卷中有3~4道选填题与1~2道解答题涉及、综合了三角知识.为了适应这种高考命题的趋势,我们在高考复习中一方面要保持对三角变换技巧的训练,另一方面要特别注意强化三角知识的纵横联系.[内容提要]1.系统领会与熟练运用正弦、余弦、正切、余切函数的图象与奇偶性、单调性、周期性;2.理解记忆和灵活运用三角变换的诱导公式、基本关系式、和差公式、倍角公式、半角公式、万能公式.3.自觉联想和合理套用三角变换的和差化积公式与积化和差公式;4.快速作出并灵活运用反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的图象;5.活用和连用正弦定理、余弦定理与射影定理,探求三角形中的边角关系与三角函数值;6.注重三角知识与函数、复数、解几、不等式、立几的横向联系,学会对综合问题的拆解.[范例精讲]例1 (1999年全国高考题)函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]...
  • 几何的难点及其解决尝试 免费阅读 下载全文
  • 从柏拉图和欧几里德的时代起,几何教学就不是一件容易的事.直到现在,世界各国基本上都是采取删减几何内容和降低教学要求的方式来克服几何教学所遇到的困难,以致几何教学内容越来越少.我国也不例外.那么,几何学习究竟难在哪里?如何有效地克服这些难点?这一直是许多数学教师面临的问题.1 调查结果我们在初中毕业生中就“几何与代数,哪一科较难,为什么?”的问题进行了调查,让学生自由表达自己学习几何与代数的感受.结果表明,83%的学生认为“几何较难”,他们阐述的原因主要集中在五个方面:1添加辅助线(占44%),2几何概念多、定理多,容易混淆(占31%),3证明方法灵活,没有固定模式(占31%),4几何图形构成、组合复杂(占46%),5推导过程表达繁琐(占19%).同时,我们利用数学骨干教师集中培训的机会,就同样的问题,对部分初中数学教师进行调查与了解.综合教师与学生的调查结果,我们可以把几何学习的难点归纳为三方面:一入门难,主要表现为几何概念多,定理多,容易混淆,几何语言和几何思维不习惯;二论证难,主要表现在思维起点的设定,证明方法的多变,逻辑思维方法的运用,辅助线的探求等方面;三表达难,也就是思维过程的外化难,主要表现为思维...
  • 二次幂平均的轨迹 免费阅读 下载全文
  • 在文[1]中作者尹在端老师作了如下猜测:如图1,过定○·Q外的定点P作○·Q的切线PT1、PT2,T1、T2是切点.PAB是○·Q的任一割线,点M在AB上,且PM=12(PA2+PB2),则点M的轨迹是“经过T1、T2的一条弧,但对圆心位置等尚未找到正确的结论”.其实,点M的轨迹经过T1、T2两点,但不是一条圆弧.下面用解析法求出点M的解析式.图1         图2如图2,以点P为原点,直线PQ为x轴建立直角坐标系.设Q(t,0),○·Q的半径为r,割线PAB的解析式为y=kx,A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x,y).显然,○·Q的方程是(x-t)2+y2=r2,将y=kx代入上式整理得(1+k2)x2-2tx+t2-r2=0,∴ x1+x2=2t1+k2,x1x2=t2-r21+k2.从而 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4t2(1+k2)2-2(t2-r2)1+k2.∵ PM2=12(PA2+PB2),且点A、B在y=kx上,∴ x2+y2=12(x21+y21+x22+y22)=12(x21+k2x21+x22+k2x22)=12(1+k2)(x21+x22).故 x2+y2...
  • 跳水运动中的一道中考题 免费阅读 下载全文
  • 在刚刚落下帷幕的第27届悉尼奥运会上,中国体育健儿共获得28金16银15铜的好成绩,为国人争光,为世人所瞩目.特别是中国跳水健儿共夺得5金5银的佳绩,不愧为“梦之队”的称号.为此,笔者由2000年河北省一道中考题想到了运动员跳水训练.题目 中国跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线为如图1所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面1023米,入水处图1距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米或5米以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为335米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.(3)要使此次跳水不至于失误,该运动员按(1)中抛物线运行,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少?解 (1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c.由题意知,O、B两...
  • 小议探究思维能力的培养 免费阅读 下载全文
  • 在数学教学中,有目的地引导学生对探索性题目进行分析解剖、讨论探究,不仅能通过解题巩固知识、掌握方法和培养技能,而且能优化他们的认知结构,培养创新能力.因此,在教学中培养和提高学生的探究能力,对全面提高学生数学能力是大有裨益的.1 条件探索型条件探索型是指由给定的结论反思探索应具备的条件的探索性问题.它要求学生从结论出发,执果索因,逆向思维,逐步探寻、推理,得出应具备的条件,进而进行解答.例1 如图1,已知AD∥BC,要使四边图1形ABCD为平行四边形,需增加什么条件?这是一道条件探索性题,即由问题给定的结论去探寻有待补充或完善的条件,执果索因.由平行四边形的判定方法可知,在“有一组对边平行”的基础上证明这个四边形是平行四边形,应再添加条件“且这组对边相等”或“另一组对边平行”,即“AD=BC”或“AB∥DC”,此时,很多学生都以为已经找到了所有的答案.这时,教师及时提出问题:若要AB∥DC,需要什么条件?这样教师不断点拨,从而激起学生思维的浪花、探索的热情,他们有的说:当∠A+∠D=180°时,……”.有的说“当∠B+∠C=180°时,……”.教师又问:能否再继续深入探索呢?这时,一个学生回答:在AD∥BC的...
  • 一个轮换对称不等式的证明 免费阅读 下载全文
  • 文[1]中,证明了一个优美的三角形轮换对称不等式  ∑a2≥4△b2a2+c2b2+a2c2.(1)不等式(1)经变换等价于∑m2ah2a≥12(b2a2+c2b2+a2c2)+32.(2)其中a、b、c,ma、mb、mc,ha、hb、hc,△分别表示△ABC的三边长,中线,高及面积.本文将给出类似不等式(2)的一个结论.定理 在△ABC中有  ∑m2aa2≥34(b2a2+c2b2+a2c2).(3)证明 先将(3)式右边进行恒等变换可得 2(b2a2+c2b2+a2c2)=b2a2+c2b2+a2c2-a2b2-b2c2-c2a2+∑(c2b2+b2c2)=(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2.而  ∑4m2aa2=∑2b2+2c2-a2a2=2∑b2+c2a2-3,所以(3)式等价于 14(2∑b2+c2a2-3)≥38[(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2]上式化简整理∑b2+c2a2-6≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2 ∑a2(b-c)2 ≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2).(4)(4)式左...
  • 2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 免费阅读 下载全文
  • 选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设全集是实数集,若A={x|x-2≤0},B={x|10x2-2=10x},则A∩B是(  ). (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D)解 由x-2≤0得x=2,故A={2};由10x2-2=10x得x2-x-2=0,故B={-1,2}.所以A∩B=.故选(D).2.设sinα>0,cosα<0,且sinα3>cosα3,则α3的取值范围是(  ). (A)(2kπ+π6,2kπ+π3),k∈Z (B)(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k∈Z (C)(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z (D)(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z解 由2kπ+π2<α<2kπ+π得2kπ3+π6<α3<2kπ3+π3,k∈Z.又 sinα3>cosα3,所以又有2kπ+π4<α3<2kπ+5π4,k∈Z.此两式的公共部分为(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z.故选(D).3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是(  ).(A...
  • 一道2000年IMO试题的背景 免费阅读 下载全文
  • 第41届(2000年)国际数学奥林匹克试题第2题为[1]:设a、b、c是正实数,且满足abc=1,证明:(a-1+1b)(b-1+1c)(c-1+1a)≤1.(1)我们认为,该题是以1983年瑞士数学奥林匹克试题第2题为背景编制的:设x、y、z是正实数,证明:xyz≥(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z).(2)事实上,(2)式可变形为(yx-1+zx)(xz-1+yz)(zy-1+xy)≤1,于上式,令yx=a,xz=b,zy=c,便得不等式(1).注1 将(2)式变形,可得第6届(1965年)国际数学奥林匹克试题第2题:设a、b、c为某一三角形三条边的长,证明: a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.(3)注2 文[2]给出了(2)式的六种证明,请查阅一道2000年IMO试题的背景!336300$江西省宜丰二[email protected][email protected] 41届国际数学奥林匹克试题 .中等数学 ,2 0 0 0 ,4 2 南秀全 .一个不等式的多种证法及其推广 .中学生数学 ,1 991 ,2
  • 不等式研究成果集锦(8) 免费阅读 下载全文
  • 88.在△ABC中,当n=4,5,6时,有∑cosnA≥1+8(3.2-n-1)∏sinA2.(黄拔萃.1999,2)89.△ABC三边长分别为a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,则  ∑ama≥4∑ma∑a,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.(尹华焱,褚小光.1999,2)90.在△ABC中,三条中线分别为ma、mb、mc,三条角平分线分别为ta、tb、tc,半周长为s,则3∑t2a.∑m2a≥s2∑mbmc.(褚小光.1999,2)注:这是杨学枝提出的猜想,褚小光予以证明.91.设H′为伪垂心,过H′的Cave线长分别为f1、f2、f3,AH′、BH′、CH′长分别为R1、R2、R3.对应的Cave线的剩余部分分别为r1、r2、r3,△ABC三边长为a、b、c,E′F′=a′,D′E′=b′,D′F′=c′,若△ABC为锐角三角形,则(i)∑a′k≥2-k∑ak(k≥1);(ii)∑Rk1≤(23)k∑fk1(0
  • 求三角函数的值域(或最值)的方法 免费阅读 下载全文
  • 三角函数y=sinx及y=cosx是有界函数,即当自变量x在R内取一定的值时,因变量y有最大值ymax=1和最小值ymin=-1,这是三角函数y=sinx及y=cosx的基本性质之一,利用三角函数的这一基本性质,我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化.虽然这部分内容在教材中出现不多,但是,在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现,学生也往往对这样的问题颇感棘手.笔者根据日常的教学积累,对三角函数求值域或最值的方法,加以归纳总结如下.1 配方分析法如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式,可采用此方法.例1 求函数y=2cos2x+5sinx-4的值域.解 原函数可化为y=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-54)2+98.当sinx=1时,ymax=1;当sinx=-1时,ymin=-9,∴ 原函数的值域是y∈[-9,1].注:此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见.但在最后讨论值域时,往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意.2 将已知函数转化成y=Af(ωx+φ)+b的形式,其中“f”表示“sinx”或“...
  • 离心率与辩证法 免费阅读 下载全文
  • 数学中处处隐含着辩证法,钻研愈深,感觉愈美.引导学生体尝此中真味,定能大大提高其数学素质.下面是我由离心率的变化所引起的一点思考.我们知道,利用“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的动点的轨迹”作定义,椭圆、双曲线和抛物线就统一到了一起.而当e→0时,令a为定值,c→0,a2c→+∞,我们也可以将圆看成为两焦点重合,准线在无穷远处的椭圆的极限情形,这样,当e从0向+∞逐渐变化,动点轨迹随着从圆到椭圆到抛物线再到双曲线的变化过程,让我们既看到了量变引起质变,有限跨向无限的生动历程,又领略了不同事物由同一个离心率联系为一个家庭整体——圆锥曲线的完美画图,这其中的辩证法良多.但是问题又存在其中.为什么在直角坐标系中椭圆、双曲线的焦点与对应准线都记为F(c,0)和x=a2c,而将抛物线的焦点与准线记为F(p2,0)和x=-p2呢?可以这样回答:对于抛物线,由于e=1,若准线记为x=a2c,则由e=1a=c,准线变为x=c,焦点F(c,0)到了准线上,是作不成抛物线的.这也许正是教材编写者使用不同记法的意图.可是,这种情况虽然作不成抛物线,轨迹还是存在的,易知它就是直线x轴.这样我们可以说e=1时,动点的轨迹也包...
  • 灵活利用定义解圆锥曲线问题 免费阅读 下载全文
  • G.波利亚指出:货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本.教材中圆锥曲线的定义和性质是解相关问题的依据,而定义的实质集中于曲线上点与焦点的距离即焦半径满足的几何条件.为了更灵活应用定义,提高解题速度,使定义这一知识仓库更加充实,我们很容易推导出焦半径的公图1式(以焦点在x轴的标准形式为例,F1、F2分别为左右焦点).如图1,若P(x,y)为双曲线左支上任一点,则有|PF2|=e|PP1|=e(a2c-x)=a-ex=-(ex-a),∴ |PF1|=|PF2|-2a=-a-ex=-(ex+a),同理,对于右支上任一点Q(x,y),满足|QF2|=ex-a,|QF1|=ex+a.在椭圆中,|PF1|=ex+a,|PF2|=-ex+a.在抛物线中,|PF|=x+p2.1 利用定义求焦半径例1 椭圆x225+y29=1上点P到左准线的距离为2.5,求点P到右焦点的距离.解 由椭圆定义列出方程组:  |PF1|2.5=e=45|PF1|+|PF2|=2a=10得  |PF1|=2,|PF2|=8,∴ 点P到右焦点距离为8.评注:求距离一般还得找点P的坐标,但利用二个定义,列出方程可直接求解焦半径.2 数形结合...
  • 《中学数学》封面

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