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  • 调和四边形及其应用 免费阅读 下载全文
  • (本讲适合高中) 近年来,调和四边形知识在各级竞赛中备受命题者的青睐,其图形结构更是频频出现.本文利用调和四边形的基本性质,结合典型例题,通过调和的思想来分析,加以解决,从而,展现调和四边形在解题中的魅力. 1 知识介绍 定义1 对边乘积相等的圆内接四边形,称为调和四边形.
  • 一道奥林匹克赛题的背景分析 免费阅读 下载全文
  • 第14届中国女子数学奥林匹克的第四题是一道关于数论和组合计数的问题. 题目 对每个正整数n,记g(n)为n与2015的最大公约数.求满足下列条件的有序三元数组(a,b,c)的个数: (1)a、b、c∈{1,2,…,2 015}; (2)g(a)、g(b)、g(c)、g(a+b)、g(b+c)、g(c +a)、g(a+b+c)这七个数两两不同. 此题的一般形式为: 问题 设 M=p1p2…pn为n个不同素数的乘积,且素因子比较大,均大于某个待定的下界L,对每个整数r,记g(r)=(r,M).考虑模M意义下的n元数组(a1,a2,…,an),对每个{1,2,…,n}的子集产,相应的有一个部分和SI=∑i∈Iai.若所有2n个子集相应的2n个部分和的g值互不相同,试问:满足要求的n元数组(a1,a2,…,an)有多少个?
  • 解题小品——得寸进尺 免费阅读 下载全文
  • 成语"得寸进尺"出自《战国策·秦策》,喻义贪心不足,有了小的,又要大的,是贬义词. 本文是用此思想作为一种解题的基本法则.典型例子是函数方程中的所谓"爬坡式推理"方法,也称为"柯西方法". 例1 求对于R中任何x、y皆满足条件 f(x+y)=f(x)+f(y) ① 的所有连续函数f(xa). 解 易知,线性函数 f(x)=cx(c为常数) ②满足题中条件.
  • 利用复数知识解竞赛题 免费阅读 下载全文
  • 复数知识内涵丰富,博大精深.它沟通了代数、三角、几何等学科间的联系,也为解题者应用复数知识解决相关问题指明了方向. 本文通过一些实例解答有关的竞赛题,供读者参考. 1 在代数中的应用 例1 设n为给定的正整数.求所有正数a、b,使得x2 +ax +b为ax2n+(ax +b)2n的因式.
  • 一道印度尼西亚国家队选拔考试题的加强 免费阅读 下载全文
  • 1988年Walther Janous在加拿大数学杂志Curx提出了如下问题: 若a、b、c>O,证明: ∑a/√a+b≧√2/2∑a, 其中,"∑"表示轮换对称和. 此题被选为2014年印度尼西亚国家队选拔考试题.
  • 赛题另解 免费阅读 下载全文
  • 题1 设a、b为正整数,且a与b的最大公约数至少有两个不同的素因子.设 S={n∈Z+|n=a(mod b)}. 对集合S中的元素x,若x不能表示成集合S中两个或更多个元素的乘积(元素可以相同),则称x为"不可约的".证明:存在正整数t,使得集合S中的每个元素均可表示成集合S中不超过t个不可约元素的乘积.
  • 从一道早期集训队选拔考试题谈起 免费阅读 下载全文
  • 笔者曾看到过这样一道题: 若数列{rn}满足 r1=2,rn=r1r2…rn-1+1, 设n为给定的正整数,a1,a2,…,an为n个正整数,且1/a1+1/a2+1/a2…+1/an<1.证明: 1/a1+1/2q2+…+1/an≤1/r1+1/r2+…+1/rn. (1987,中国国家集训队选拔考试) 如此简洁的题目竞隐藏了一个"复杂"的数列,不由得引人思考.基于此,本文对这个数列作进一步研究.
  • 一道美国赛题的向量证法 免费阅读 下载全文
  • 题目 在圆内接四边形ABCD中,已知AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H,△AHE、△BEF、△CFG、△DGH的垂心分别为形、X、Y、Z.证明:四边形ABCD与四边形WXYZ的面积相等.[1] 文[1]先证明一个引理,再利用位似变换的相关知识给出证明.本文介绍一种向量证法.
  • 三角形的心线 免费阅读 下载全文
  • 如图1,在直角坐标系中放一个△ABC,设B(-1,0),C(1,0),A(a,b)(0≤a<1,b>0).可以选出一个数组(a,b),使得△ABC和任意三角形相似或全等. 易知,边BC、CA、AB的中点坐标分别为 D(0,0),E(a+1/2,b/2),F(a-1/2,b/2). 在三边的中垂线上,同时在形外一侧或形内一侧分别取点A1、B1、C1,使得 DA1/DB=EB1/EC=FC1/FA=λ.
  • 2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛 免费阅读 下载全文
  • 2015年全国高中数学联赛湖北赛区预赛 免费阅读 下载全文
  • 2015年全国高中数学联赛安徽赛区预赛 免费阅读 下载全文
  • 第35届国际城市数学竞赛(2013秋季) 免费阅读 下载全文
  • 数学奥林匹克高中训练题(199) 免费阅读 下载全文
  • 数学奥林匹克问题 免费阅读 下载全文
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